入試での出題状況
「やさしい～シリーズ」「１００＋１００シリーズ」が入試問題のどのくらいのカバーしているかは、もちろん大学によってさまざまですが、共通テスト、京都大学、慶應義塾大学、早稲田大学を例に取ってみます。
辛めに判断します。「発想力があれば取れる。」という都合のいい解釈はせず、ベタな問題がわかっている人が、確実に取れる点数のみカウントすることにします。
（注：ＷＡＲＤでは累乗を表現出来ないため、一般的に^という記号を使います。例えば、^２なら、「２乗」という意味だと思ってください。）
２０２２年・共通テストに、青は「やさしい～シリーズ」のみ、赤は「やさしい～シリーズ」「１００＋１００シリーズ」両方で勉強して臨んだ場合の点数。
数ⅠＡ
第１問 （３０点／３０）
[１] （１）ア、イは、『数ⅠＡ編』の１－４のｐｏｉｎｔ７の黒丸４の公式ですし、ウ、エは展開して、今までの結果を代入するだけです。
（２）オ、カも計算するだけ。キ、クも指示通りに（１）の最後の式に代入するだけ。ｘ＋ｙ、ｘ＾２＋ｙ＾２の値からｘｙが求まるので、ケもわかります。
[２] 直角三角形を使った三角比（『数ⅠＡ編』の４－１）がわかっていたら解けます。例えば、地図上でのＣＡ、ＢＣの長さをそれぞれｘ、ｙとすると、ｔａｎ１６°＝ｙ／ｘです。ｔａｎ１６°の値は表に書いてあります。０．２８６７＝ｙ／ｘです。
この地図の縮尺は、水平方向が１／１０００００、鉛直方向が１／２５０００なので、実際の水平方向、鉛直方向の長さはそれぞれ１０００００ｘ、２５０００ｙです。
ｔａｎΘ＝２５０００ｙ／１０００００ｘ
＝ｙ／４ｘ
＝０．０７３ でコ～スＢＣがわかり、再び表を見ると、４°と５°の間とわかり、セが求まります。
[３] （１）ソ、タは正弦定理（『数ⅠＡ編』の４－９）。チ～テは直角三角形を使った三角比（『数ⅠＡ編』の４－１）で解けます。
（２）ＡＢ＝ｘとすると、ＡＣ＝－２ｘ＋１４です。ＡＢ、ＡＣとも辺の長さなので正ですし、円の中にあるから直径より長くなるわけがないので、６以下です。ト、ナが求まります。（１）と同じ手順でニ～ハがわかり、２次関数の最大、最小（『数ⅠＡ編』の３－６）で、ヒの答がわかります。
第２問 （２５点／３０）（３０点／３０）
[１] （１）は楽勝です。
（２）は、ｎ＝３つまり「①、②に異なる実数解が３個」と聞くと、「①、②の一方が重解をもち、他方が異なる２つの実数解をもつ」と思いそうですが、それ以外に、「①、②ともに異なる２つの実数解をもち、ダブった解（共通解）が１つある」もあります。
『おさえておきたい１００＋１００ 数ⅠＡⅡＢ編』のうかる０９で勉強した人は大丈夫だったでしょう。
（ⅰ）共通解をもつとき
ｑ＝－６またはα＝１とわかります。
ｑ＝－６のときは、①、②が同じ式になり、異なる実数解が２つになり、不適です。
α＝１のときは、ｑ＝５になり、①、②を計算すれば異なる３つの実数解をもつとわかります。ウが求まりました。
（ⅱ）①が重解をもつとき
判別式（『数ⅠＡ編』の１－２０）より、ｑ＝９になります。①はｘ＝３という重解をもつ。②は異なる２つの実数解をもち、ともにｘ＝３でないものとわかります。エが求まりました。
（ⅲ）②が重解をもつとき
判別式（『数ⅠＡ編』の１－２０）を計算すると、あり得ないとわかります。
（ⅰ）は、太郎と花子の会話の中で説明しているので、初めて見て人もそれで解けたかもしれませんが、ここは厳しく、『やさしい高校数学』のみでやった人はウがわからなかったと判断します。
（３）『数ⅠＡ編』の３－２の知識で解けます。
③のグラフの頂点は（３，ｑ－９）です。ｑを１から大きくすると、ｘ座標は変わらず、ｙ座標が大きくなるので、上に移動します。
④のグラフの頂点は（－ｑ／２，－ｑ＾２／４－６）です。ｑを１から大きくすると、ｘ座標、ｙ座標ともに小さくなり左下に移動します。カの答がわかります。
（４）５＜ｑ＜９です。
③、④の頂点のｘ座標を比べると、④のほうが左にあるとわかります。
③、④の頂点のｙ座標は、ともに負です。また、両者の交点は（１，ｑ－５）でｙ座標は正です。
これらで図を書き、（ｙ軸は不要。）ｙ＜０つまりｘ軸より下になっている部分に注目すると、左がＢ、右がＡですが、重なっている部分が無いことがわかります。
ここからは、十分条件、必要条件（『数ⅠＡ編』の２－８）の知識です。「ｘがＡの要素ならば、ｘがＢの要素である。」も「ｘがＢの要素ならば、ｘがＡの要素である。」も成り立ちません。つまり偽です。キの答がわかります。
「ｘがＢの要素ならば、ｘがＡの要素でない。」は成り立ちます。「ｘがＡの要素でないならば、ｘがＢの要素である。」は成り立ちません。つまり偽です。クの答がわかります。
ここまでは、「問題数が多いな・・・」と思いながらも、普通に解けた人も多かったでしょう。予想以上に時間を使ったことで焦りを感じている状態で、恐ろしく時間がかかる問題に突入します。
[２] （１）ケは『数ⅠＡ編』の５－１で登場した内容です。
中央値は１５番目の数です。ヒストグラムを見ると、２００９年度は「３０以上４５未満」に属していて、階級値は３７．５です。２０１８年度も同様です。
コ、サは『数ⅠＡ編』の５－２で扱いました。
第１四分位数は７番目と８番目の数の平均です。２００９年度は７番目、８番目ともに「１５以上３０未満」に属していて、階級値は２２．５です。２０１８年度も同様です。
第３四分位数は２２番目と２３番目の数の平均です。２００９年度は２２番目、２３番目ともに「６０以上７５未満」に属していて、階級値は６７．５です。２０１８年度は２２番目、２３番目ともに「４５以上６０未満」に属していて、階級値は５２．５です。
シは、範囲が２０１８年度のほうが小さいことはすぐにわかります。
四分位数範囲は第１四分位数と第３四分位数の差という意味です。
２００９年度は第１四分位数は「１５以上３０未満」、第３四分位数は「６０以上７５未満」なので、四分位数範囲は「３０以上９０未満」です。
２０１８年度は第１四分位数は「１５以上３０未満」、第３四分位数は「４５以上６０未満」なので、四分位数範囲は「１５以上７５未満」です。
どちらが大きいかは判断できません。これがスの答です。
（２）箱ひげ図とヒストグラム（『数ⅠＡ編』の５－３）の問題。
（３）問題文の冒頭からの９行は全く不要です。「ＳとＴの共分散」を「Ｓの標準偏差」と「Ｔの標準偏差」で割ると０．６３で、これがソ～チの答です。(『数ⅠＡ編』の５－６の３８７ページ)
（４）散布図（『数ⅠＡ編』の５－６）の問題です。相関係数が正ならば右上がりですが、完全な直線は１、右上がりなのかはっきりしないものは（０．２とかいった）０に近い値になります。今回は０．６３なので、まず、①、③に絞られます。
さらに点の散らばり具合に注目すると、①のＳ、Ｔの平均値はともに１００くらい、③のＳ、Ｔの平均値はともに７０か８０くらいということで、（３）の表から③とわかります。
第３問 （２０点／２０）
[１] （１）（ⅰ）例えば、Ａ、Ｂの２人いて、持ってきたプレゼントがそれぞれａ、ｂとします。向かって左からＡ、Ｂの順で並んでいて、ａ、ｂを並べると考えればいいです。
全体では２！＝２通り。（『数ⅠＡ編』の６－４）そのうちプレゼントが本人に行かないのはｂ－ａの１通りで、これがア。確率は１／２でこれがイ、ウです。
（ⅱ）これも、Ａ、Ｂ、Ｃの３人いて、持ってきたプレゼントがそれぞれａ、ｂ、ｃとして、向かって左からＡ、Ｂ、Ｃの順で並んでいると考えればいいです。
全体では３！＝６通り。そのうちプレゼントが本人に行かないのはｂ－ｃ－ａ、ｃ－ａ－ｂの２通りで、これがエ。確率は２／６＝１／３でこれがオ、カです。
（ⅲ）（ⅱ）から、１回の試行で交換会が終了する確率は１／３。終了しない確率は２／３とわかったので、これを使えばいいです。
１回目で終了する確率は、１／３、
２回目で終了する確率は、（２／３）・（１／３）、
３回目で終了する確率は、（２／３）＾２・（１／３）、
４回目で終了する確率は、（２／３）＾３・（１／３）なので、これらを足してもいいです。
しかし、余事象（『数ⅠＡ編』の６－２）を使えばもっと楽です。「１～４回目すべてで終了しない確率」は（２／３）＾４で、全体の１からこれを引けば、キ～コが求まります。
（２）これも、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人いて、持ってきたプレゼントがそれぞれａ、ｂ、ｃ、ｄとして、向かって左からＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄの順で並んでいると考えればいいです。
全体では４！＝２４通り。そのうち４人ともプレゼントが本人に行かないのは、中学校で習った樹形図を使って数えれば９通りとわかって、これがソ、タが９／２４＝３／８と求まります。
しかし、問題文は余事象を使って求めるように指示しています。「えっ？そっちのほうが面倒じゃないの？」と思うかもしれませんが、ここは問題文に従って解いていきます。１回目で交換会が終了しないのは、
（Ⅰ）ちょうど１人が自分のプレゼントを受け取るとき
「一つの例を挙げて、それと同じものが何通りあるか」（『数ⅠＡ編』の６－１６）の考え方で解いていきます。
例えば、Ａが自分のものを受け取ったとき、B、Ｃ、Ｄは自分のプレゼントでないものを受け取ります。これは（１）の（ⅱ）で２通りと求めているので、これを使うと頭がいいです。
Ｂが自分のものを受け取ったときも２通り、
Ｃが自分のものを受け取ったときも２通り、
Ｄが自分のものを受け取ったときも２通りという感じで、同じものが４パターンあるので、２×４＝８通りです。これがサです。
（Ⅱ）ちょうど２人が自分のプレゼントを受け取るとき
例えば、Ａ、Ｂが自分のものを受け取ったとき、Ｃ、Ｄは自分のプレゼントでないものを受け取ります。これは（１）の（ⅰ）で１通りと求めています。
Ｂ、Ｃが自分のものを受け取ったときも１通り、
Ａ、Ｄが自分のものを受け取ったときも１通り、
・・・・・・・・・・・・・・・
という感じで、同じものが４Ｃ２＝６パターンあるので、１×６＝６通りです。これがシです。
（Ⅲ）４人とも自分のプレゼントを受け取るとき
１通りです。
よって、１回目で交換会が終了しないのは、８＋６＋１＝１５通りで、これがス、セです。
交換会が終了する（４人ともプレゼントが本人に行かない）のは、２４－１５＝９通りになり、交換会が終了する確率は、９／２４＝３／８で、これがソ、タです。
（３）これも、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５人いて、持ってきたプレゼントがそれぞれａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅとして、向かって左からＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの順で並んでいると考えればいいです。
全体では５！＝１２０通り。そのうちプレゼントが本人に行かないのを樹形図を使って数えようとしたら、結構数が多くて大変なことに気が付きます。そこで（２）でやったように余事象で考えたほうがいいのでは？となります。（２）は（３）を解くためのヒントだったわけです。
（Ⅰ）ちょうど１人が自分のプレゼントを受け取るとき
例えば、Ａが自分のものを受け取ったとき、B、Ｃ、Ｄ、Ｅは自分のプレゼントでないものを受け取ります。これは（２）の最後で、９通りと求めています。
Ｂが自分のものを受け取ったときも９通り、
Ｃが自分のものを受け取ったときも９通り、
Ｄが自分のものを受け取ったときも９通り、
Ｅが自分のものを受け取ったときも９通りという感じで、同じものが５パターンあるので、９×５＝４５通りです。
（Ⅱ）ちょうど２人が自分のプレゼントを受け取るとき
例えば、Ａ、Ｂが自分のものを受け取ったとき、Ｃ、Ｄ、Ｅは自分のプレゼントでないものを受け取ります。これは（１）の（ⅱ）で２通りと求めています。
Ｂ、Ｃが自分のものを受け取ったときも２通り、
Ａ、Ｄが自分のものを受け取ったときも２通り、
・・・・・・・・・・・・・・・
という感じで、同じものが５Ｃ２＝１０パターンあるので、２×１０＝２０通りです。
（Ⅲ）ちょうど３人が自分のプレゼントを受け取るとき
例えば、Ａ、Ｂ、Ｃが自分のものを受け取ったとき、Ｄ、Ｅは自分のプレゼントでないものを受け取ります。これは（１）の（ⅰ）で１通りと求めています。
Ｂ、Ｃ、Ｄが自分のものを受け取ったときも１通り、
Ａ、Ｄ、Ｅが自分のものを受け取ったときも１通り、
・・・・・・・・・・・・・・・
という感じで、同じものが５Ｃ３＝１０パターンあるので、１×１０＝１０通りです。
（Ⅳ）５人とも自分のプレゼントを受け取るとき
１通りです。
よって、１回目で交換会が終了しないのは、４５＋２０＋１０＋１＝７６通りで、交換会が終了する（５人ともプレゼントが本人に行かない）のは、１２０－７６＝４４通りになり、交換会が終了する確率は、４４／１２０＝１１／３０で、これがチ～トです。
（４）条件付き確率（『数ⅠＡ編』の６－２９）です。「Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄそれぞれ自分以外の人の持参したプレゼントを受け取る」をＬ、「交換会が終了する」をＭとすると、求めるものは、P(Ｌ⋀Ｍ)/P(Ｌ)、つまり、
（Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄそれぞれ自分以外の人の持参したプレゼントを受け取り、かつ、交換会が終了する確率）／（Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄそれぞれ自分以外の人の持参したプレゼントを受け取る確率） です。
分子は、１１／３０です。
分母は、「５人とも自分以外の人の持参したプレゼントを受け取.る確率１１／３０」の他に、「Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは自分以外の人の持参したプレゼントを受け取るが、Ｅは本人の持参したプレゼントを受け取る確率」もあり、これは（３）の（Ⅰ）の最後でやったように９通りあるので、確率は９／１２０です。分母は、１１／３０＋９／１２０です。
これで、ナ～ネが求まります
第４問 （７点／２０）（２０点／２０）
（１）:ａｘ＋ｂｙ＝ｃ（ｘ、ｙは整数）の式で、係数が大きいので、『おさえておきたい１００＋１００ 数ⅠＡⅡＢ編』のうかる３４で解くのが原則ですが、この問題に関しては、運のいいことに『数ⅠＡ編』の７－８でも解けます。ｘ＝１を代入したら、ｙ＝３９が出て、これが解の一つということで、続きも求められます。
（２）６２５＝５＾４ということで、『数ⅠＡ編』の１－３のｐｏｉｎｔ６の黒丸３で、ケが求まります。このとき、『おさえておきたい１００＋１００ 数ⅠＡⅡＢ編』のうかる３４の方法で解いた人は、（１）の冒頭で、６２５＝１６・３９＋１という式を作っているわけで、問題文のｍ＝３９とおけという指示に従えば、６２５＝１６ｍ＋１でこれを２乗すれば、コが求められます。『やさしい高校数学』のみの人は解けなかった可能性が高いです。
（もちろん、（１）の冒頭で、「６２５を１６で割ると、余りが１」と言っているので、実際に割って、割られる式＝割る式×商＋余りの式を作って、６２５＝１６・３９＋１を得たという人もいると思いますが、そんな都合のいい解釈をするのは変なので、ここは厳しくいきます。）
（３）は、問題文を読んでも何を言っているのかわからなかった人が多いと思います。（ここは解説を目的にしたコラムではないので、説明は省略します。）意味がわからなければ、「答さえ出せればいいんだろう。」と開き直って、『おさえておきたい１００＋１００ 数ⅠＡⅡＢ編』のうかる３４の方法で普通に解いても構いません。意外とすぐに求まります。
（４）（３）と同様で、普通に解けます。ただし、計算はかなり面倒くさいです。
第５問 （２０点／２０）
（１）『数ⅠＡ編』の８－4で紹介されている重心の意味がわかっていたら、ＡＧ：ＧＥ＝２：１が出るわけで、ア、イは楽勝です。
図を書いて、左の三角形、右の三角形を使ってメネラウスの定理（いずれも『数ⅠＡ編』の８－７）の式を作ると、ウ～クが求まります。
その後、両方の式を足しますが、ＢＦはＥＦ＋ＢＥと同じで、ＣＦはＥＦ－ＥＣと同じで、さらにＢＥ＝ＥＣなので、ケが求まります。
（２）方べきの定理（『数ⅠＡ編』の８－９）でＡＱがＡＰの３／２とわかり、コ、サの答えになります。その後、ＡＰ＝ｘ、ＡＱ＝３ｘ／２、ＣＦ＝ｙとおいて、（１）で求めたウ～クの式に代入ると、計算は面倒ですが、シ～ナが出ます。
（３）（１）で作ったメネラウスの定理の２つの式を同じ手順で解いていけば、自動的にＡＤ：ＤＥが出ます。ＡＧ：ＧＥ＝２：１もわかっているので、『数ⅠＡ編』の８－２の５４９ページの方法で、ニ、ヌがわかります。
数ⅠＡの問題は１００点満点ですが、
「やさしい～シリーズ」のみで勉強した人は、第４問を選択した場合は８２点、選択しなかった場合は９５点になります。
「やさしい～シリーズ」「おさえておきたい数ⅠＡⅡＢ基礎１００＋応用１００」両方で勉強した人は１００点ということになります。
ただし、これは時間が無制限に使えた場合の話です。実際に取れる得点はもっと低くなります。感想としては、以下のようになります。
１．時間が短いのに、問題の量が膨大。
２．問題は意外に難しくないが、解くのが面倒。
３．小学生のときに練習した筆算の能力がかなり大事。
４．長々とした問題文を読まされ、解くのに関係ないものも含まれている。
共通テストは、かなり特殊な試験です。模試を多く受け、短い時間で解く技術を身に付けましょう。
２０２１年・京都大学（理系）に、青は「やさしい～シリーズ」のみ、赤は「やさしい～シリーズ」「１００＋１００シリーズ」両方で勉強して臨んだ場合の点数。
１の問１（２０点／２０）
『数ⅡＢ編』の６－９の例題９－３２（３）でも扱っているド定番の問題なので、Ｍを求めるのに苦労しなかったと思います。Ｑは線分ＰＭを２：１の比に外分する点（『数ⅡＢ編』の３－２）ということで、求められます。
１の問２（４点／２０）（１０点／２０）
まず、『数ⅠＡ編』の６－２７の考え方だとわかります。最後の１回をやる前にリーチがかかっているということです。
①ｎ－１回目までは赤玉が出ない状態で、白玉が少なくとも１回出る、かつ、青玉が少なくとも１回出る、かつ、黄玉が少なくとも１回出る。
②ｎ回目に赤を出す。
ということで、方針点４点が入ります。
まず①ですが、少なくとも１回出るの”かつ”の問題は、「おさえておきたい数ⅠＡⅡＢ基礎１００＋応用１００」のうかる２８で扱っています。本のほうは２つの”かつ”なので「一度も出ない」の円２つをベン図に書くと、全ての円の外側の部分がそれにあたります。
今回の問題は３つの”かつ”なので、赤玉が出ないを全体として、「白玉が一度も出ない」、「青玉が一度も出ない」、「黄玉が一度も出ない」の３つを円を書いて、全ての円の外側の部分を求めればいいわけです。「白玉が一度も出ない、または、青玉が一度も出ない、または、黄玉が一度も出ない」は『数ⅠＡ編』の２－５のやり方で求められます。
その後は、全体に当たる「ｎ－１回目まで赤玉が出ない確率」、つまり、（３／４）＾ｎから引けば求められます。ただ、全体の確率を１と間違える人もいると思うので、ここは得点としません。
これに②の確率を掛ければ終わりです。
２（３０点／３０）
Ｐの座標をｔとかを使って表して、接線の方程式が求まり（『数ⅡＢ編』の６－９）、ｘ軸との交点Ｑも容易にわかります。２点Ｐ、Ｑの距離Ｌ（『数ⅡＢ編』の３－１）は√の値になるので、Ｌ^２の最小値を求めてから、最後に√を付ければいいです。これも余裕でしょう。
Ｌ^２の値は、ｔ^６、ｔ^４、ｔ^（－２）などが出て、一瞬焦りますが、全部偶数乗なのでｔ^２をａとかに置き換えれば（『数ⅠＡ編』の３－９）、ａ^３、ａ^２、ａ^（－１）になり、計算も楽になります。増減表（『数Ⅲ編』の６－１０）が普通に書ける人は、特に問題なく完答できます。
３（１０点／３０）
「上に∞が付いているΣ」は、「後がａ・ｒ^ｎ－１になっていたら、初項ａ、公比rの無限等比級数で、それ以外のときは書き並べる。」というのが原則で、今回は後者に当たります。
『数Ⅲ編』の４－１３の例題４－１７（１）でほとんど似たことをやったので、問題を見てガッツポーズを取っている絵が想像できます。
本のほうは、初めの２つをひとまとめ、次の２つをひとまとめ、さらに次の２つをひとまとめ・・・と考えることができて、さらに、０を除くと、無限等比級数になります。
それに対し、問題のほうは、
ｘｎ＝１・１＋（１／２）・（”ルート３”／２）＋（１／２）^２・（１／２）＋（１／２）^３・０＋（１／２）^４・（－１／２）＋（１／２）^５・（－”ルート３”／２）
＋（１／２）^６・（－１）＋（１／２）^７・（－”ルート３”／２）＋（１／２）^８・（－１／２）＋（１／２）^９・０＋（１／２）^１０・（１／２）＋（１／２）^１１・（”ルート３”／２）＋・・・
＝１＋（”ルート３”／４）＋（１／８）＋０＋（－１／３２）＋（－”ルート３”／６４）＋（－１／６４）＋（－”ルート３”／２５６）＋（－１／５１２）＋０＋（１／２０４８）＋（”ルート３”／４０９６）＋・・・
項が、その６つ前の項を比べると、（１／２）^６倍されていて、さらに角度がπ増えるためにｃｏｓの値が－１倍になり、結果－１／６４倍になるため、
１、７、１３・・・番目、２、８、１４・・・番目、３、９、１５・・・番目、・・・というふうにまとめると、
＝｛１＋（－１／６４）＋・・・｝＋｛（”ルート３”／４）＋（－”ルート３”／２５６）＋・・・｝＋｛（１／８）＋（－１／５１２）＋・・・｝＋｛（－１／３２）＋（１／２０４８）＋・・・｝＋｛（－”ルート３”／６４）＋（”ルート３”／４０９６）＋・・・｝
となり、各々が公比－１／６４の無限等比級数になります。
これに気が付けば満点ですが、全員がそうできるとは思えませんし、ここは書き並べる所までできて、部分点のみもらえると考えるのが妥当でしょう。
４（３０点／３０）
曲線の長さは、大変有名な問題で、『数Ⅲ編』の８－１３でも学んでいます。
計算すると、√の中に１＋ｃｏｓｘが入ってるものの積分になりますが、この時のやり方は、『数Ⅲ編』の８－１２の最後で扱ってます。さらに、ｓｉｎｘの逆数の積分になってしまうのですが、この時の計算のやり方も『数Ⅲ編』の７－１１の例題７－２０で勉強しています。
５の（１）（１０点／１０）
まず、∠ＢＡＣ＝π／３を常に満たすということは、Ａが円を描くとわかります。（『やさしい中学数学』中３の６－１旧課程では７－１）
『数ⅠＡ編』の０－１０でも言っていますが、図を大きく書いて、長さや角度などわかるものをマメに書いていけば、∠ＢＯＣ＝２π／３が出てきます。円周角（『やさしい中学数学』中３の６－１旧課程では７－１）を使えば、Ｏが外心になるとわかります。Ａの場所を変えてみてもそれは変わりません。
５の（２）（１５点／３０）（３０点／３０）
垂心の意味は『数ⅠＡ編』の８－４の５６３ページで説明しています。
垂心をＨ（Ｘ，Ｙ）とかして、軌跡（『数ⅡＢ編』の３－２３）で求めます。
A（ｐ，ｑ）とかして、円ｘ＾２＋ｙ＾２＝４（ｙ＞０）上にあるので、代入して、ｐ＾２＋ｑ＾２＝４・・・①、ｑ＞０・・・②となります。（『数ⅡＢ編』のお役立ち話）
Ｈは、Aを通り直線BCに垂直な直線ｘ＝ｐ上にあるので、Ｘ＝ｐ・・・③
Ｈは、Ｂを通り直線ＡCに垂直な直線上にもあります。方程式を求めてもいいですが、面倒ならばベクトルを使ってもいいです。”ＢＨベクトル”と”ＣＡベクトル”が垂直ということで、内積０を計算すると、もう一つの式④が出ます。
後は、媒介変数ｐ、ｑを消去すれば求まります。③を①、④に代入すれば余裕でｐは消せて、それぞれ新しく➄、⑥の式が出来ます。後は⑥の式をｑ＝に変形して、②、➄代入すれば終わるのてすが、とにかく計算が面倒くさいのです。不等式の表す領域（『数ⅡＢ編』の３－２５）、複数の文字のある式の因数分解（『数ⅠＡ編』の１－７）、など、ありきたりの知識しか使いませんが、場合分けもあったりします。『やさしいシリーズ』のみでしかやっていない人は戸惑うと思います。「おさえておきたい数ⅠＡⅡＢ基礎１００＋応用１００」をやった人はうかる６０、６１で経験をしているので大丈夫でしょう。
６の問１（４点／２０）
ほとんどの人が、対偶(『数ⅠＡ編』の２－９）で証明するとわかったはずです。「ｎが素数でないならば、３＾ｎ－２＾ｎは素数にならない。」を証明すると方針で４点。
素数でないなら、掛け算の形に出来る（因数分解できる）ので、ｎ＝ｐｑ（ｐ、ｑは２以上の自然数）と表せて、３＾ｎ－２＾ｎ＝３＾ｐｑ－２＾ｐｑ＝（３＾ｐ）＾ｑ－（２＾ｐ）＾ｑ。この後は（３＾ｐ）、（２＾ｐ）をひと固まりと考えて、基礎トレ３９の７２ページの９行目の公式で因数分解すれば、両方の因数が２以上の自然数になるとわかり、終了です。しかし、これを思いつくのは難しいと思います。
６の問２（０点／２０）
これは、本の知識だけで解くのは無理かと思います。
京都大学（理系）の問題は２００点満点ですが、
「やさしい～シリーズ」のみで勉強した人は１２３点、
「やさしい～シリーズ」「おさえておきたい数ⅠＡⅡＢ基礎１００＋応用１００」両方で勉強した人は１４４点ということになります。
「おさえておきたい数Ⅲ５０＋５０」の発売は、京都大学の入試後になって残念でしたが、今後はもっと正解率が上がると思われます。
２０２１年・慶應義塾大学（薬）に、青は「やさしい～シリーズ」のみ、赤は「やさしい～シリーズ」「１００＋１００シリーズ」両方で勉強して臨んだ場合の点数。（問題の配点については非公表のため推測。）
［Ⅰ］（１）（２点／２）
（１＋ｉ）^２を計算したら２ｉになります。それを５乗すればいいです。（『数ⅡＢ編』の２－１）
［Ⅰ］（２）（５点／５）
２つの解をα、α＋１として、解と係数の関係（『数ⅡＢ編』の２－７）を使えばよい。平均変化率も『数ⅡＢ編』の６－３で学びました。
［Ⅰ］（３）（８点／８）
（ⅰ）ほぼ同じ問題を『数ⅡＢ編』の３－２２でやっています。
（ⅱ）ｙ＝”ルート３”｜ｘ＋９｜は、ｙ＝｜”ルート３”（ｘ＋９）｜と同じです。『数ⅠＡ編』の３－２１で紹介した通り、ｙ＝”ルート３”（ｘ＋９）のグラフを書いて、ｙ＜０の部分をｘ軸に関して折り返せばいい。（もちろん、絶対値を場合分けで外しても解けます。）
扇形の面積は、小学校で習った方法でもいいし、『数ⅡＢ編』のお役立ち話８でも求められます。
［Ⅰ］（４）（７点／７）
左辺は展開して、『数ⅡＢ編』の４－１８の変形でｓｉｎΘ＋ｃｏｓΘの値が出ます。『数ⅠＡ編』の４－８の方法で、ｓｉｎΘ、ｃｏｓΘが求められます。２組出ますが、－π／２≦Θ≦π／２だから、ｃｏｓΘが正になるほうのみ正解です。
［Ⅰ］（５）（２点／１０）（１０点／１０）
（ⅰ）これは、『数ⅠＡ編』の７－９で勉強した人は大丈夫でしょう。問題文で述べている通り、最小の位から、つまり、右から考えて、０、１、２、０、１、２と続いています。
１０進法に直すと、それぞれ、０・３^０、１・３^１、２・３^２、０・３^３、１・３^４、２・３^５で、その和が答えです。
（ⅱ）これも、右から見ると、０、１、２、０、１、２、・・・、０、１、２ということで、３つずつ区切れば、群数列（『数ⅡＢ編』の２－１）になっていると気づく人もいるかもしれません。
でも、『やさしい～シリーズ』のみで勉強した人は、そこから先を計算するのは厳しいと思います。
１０進法に直すと、０・３^０、１・３^１、２・３^２、０・３^３、１・３^４、２・３^５、・・・、０・３^（３ｎ－３）、１・３^（３ｎ－２）、２・３^（３ｎ－１）でその和を求める分けですが、これは「おさえておきたい数ⅠＡⅡＢ基礎１００＋応用１００」のうかる８２でやっています。
順に、ｂ１、ｂ２、ｂ３、ｂ４、ｂ５、ｂ６、・・・、ｂ３ｎ－２、ｂ３ｎ－１、ｂ３ｎとすると、３つのローテーションなので、まず、ｂ３ｋ－２＋ｂ３ｋ－１＋ｂ３ｋを求め、それに”Σのｋ＝１からｋ＝ｎ”を付ければ求まります。
Σの後の式をａ・ｒ^（ｋ－１）の形にすれば、『数ⅡＢ編』の８－１２も使えます。
［Ⅰ］（６）（１２点／１２）
（ⅰ）『数ⅠＡ編』の１－７で登場しました。
（ⅱ）（２ｘ＋ｙ＋１）（３ｘ＋５ｙ＋１）＝２・３・７・２３となり、『数ⅠＡ編』の７－３のやり方になります。普通に挙げると、
（２ｘ＋ｙ＋１，３ｘ＋５ｙ＋１）＝（１，２・３・７・２３）、（２，３・７・２３）、（３，２・７・２３）、（７，２・３・２３）、（２３，２・３・７）、（２・３，７・２３）、（２・７，３・２３）、（２・２３，３・７）、（３・７，２・２３）、（３・２３，２・７）、（７・２３，２・３）、（２・３・７，２３）、（２・３・２３，７）、（２・７・２３，３）、
（３・７・２３，２）、（２・３・７・２３，１）の１６通りありますが、コツ２８を使うと、
「範囲」は、ｘ＞１、ｙ＞１、つまり、ｘ≧２、ｙ≧２ということで、２ｘ＋ｙ＋１≧７，３ｘ＋５ｙ＋１≧１７
「大小」は、２ｘ＋ｙ＋１＜３ｘ＋５ｙ＋１
とわかります。これらに当てはまるものは、（２ｘ＋ｙ＋１，３ｘ＋５ｙ＋１）＝（７，２・３・２３）、（２３，２・３・７）、（２・７，３・２３）、（３・７，２・２３）の４つのみで、それを解くと２組だけが答えになります。
［Ⅰ］（７）（６点／６）
『数ⅡＢ編』の９－２８です。「点Ｄから平面ＡＢＣに下した垂線の足」を求める代わりに、『数ⅡＢ編』の９－３０で紹介したように「平面ＡＢＣの方程式」を求め、ＰＯＩＮＴ１０６を使って求めることも出来ます。
［Ⅱ］（１）（０点／１５） （１５点／１５）
（ⅰ）６個の異なる点から３個の点を選ぶのは６Ｃ３通り（ 『数ⅠＡ編』の６－１４）。そのうち三角形の面積を最小にするには隣り合う３点を選ぶということなので６通りあり、全体で割れば求まります（ 『数ⅠＡ編』の６－２３）。
ちなみに、「おさえておきたい数ⅠＡⅡＢ基礎１００＋応用１００」のうかる２３でこの手の問題を扱っています。個人的には『やさしい～シリーズ』しかやっていない人でも解けるのではと思いますが、ここは心を鬼にして、辛めに判断します。
（ⅱ）（ⅰ）と同様で、ｎ個の異なる点から３個の点を選ぶのはｎＣ３通り、そのうち隣り合う３点を選ぶ（三角形が正ｎ角形と２辺を共有するようにする）のはｎ通りで、確率がわかり、（ｎ－１）（ｎ－２）≧６４２０の式になります。
展開して、全て左辺に集め、因数分解しようとしたらできないため、解の公式で解を求めて、計算をした人も多かったと思います（ 『数ⅠＡ編』の３－１２）。実際にそれで求められます。
しかし、ｎは６以上の自然数で、（ｎ－１）（ｎ－２）は単調増加なので、「おさえておきたい数ⅠＡⅡＢ基礎１００＋応用１００」の４０７ページのColumnで紹介したように、ｎに色々自然数を代入して６４２０以上になるものを探すという方法が楽でいいです。
（ⅲ）ＵｎからＡｎを除いた部分を全体と考えるということは、ｎＣ３－ｎ通りです。
隣り合う３点を選ばないものの中で面積が最小になるのは、「おさえておきたい数ⅠＡⅡＢ基礎１００＋応用１００」のうかる２３で似たことをやっています。
まず、隣り合う２点を選ぶ（三角形が正ｎ角形と１辺を共有するようにする）のにｎ通り。それらに隣り合わない、それも出来るだけ近い点を選ぶのに２通り。よって、２ｎ通りです。
［Ⅱ］（２）（０点／１０）
まれに出てくる入試問題の１つですが、私は本に収録しませんでした。「過去に解いたことが無いが初見で解けた。」という人がいないとは言えませんが、かなり少数派でしょう。
［Ⅲ］（１）（７点／７）
常に通る点は、『数ⅡＢ編』の３－８。接線の方程式は、『数ⅡＢ編』の６－８。
［Ⅲ］（２）（４点／４）
接点がわからないときの接線の方程式は、『数ⅡＢ編』の６－９。２次関数の最大・最小は、『数ⅠＡ編』の３－６。
［Ⅲ］（３）（１４点／１４）
極値をとるｘの値から、元の式を求めるのは、『数ⅡＢ編』の６－１５です。
交点Ｑを求めるのは、『数ⅡＢ編』の７－１４の５７２ページで説明されています。ｘ＝－２で接しているわけですから、連立させると、（ｘ＋２）^２を因数にもちます。
三角形の面積の求め方は色々ありますが、３頂点の座標がわかっているなら、『数ⅡＢ編』の９－１０の方法が一番楽でしょう。
慶應義塾大学（薬）の問題は１００点満点ですが、
「やさしい～シリーズ」のみで勉強した人は６７点、
「やさしい～シリーズ」「おさえておきたい数ⅠＡⅡＢ基礎１００＋応用１００」両方で勉強した人は９０点ということになります。
２０２１年・早稲田大学（人間科学・理系）に、青は「やさしい～シリーズ」のみ、赤は「やさしい～シリーズ」「１００＋１００シリーズ」両方で勉強して臨んだ場合の点数。（問題の配点については非公表のため推測。）
［問１］（１）（３点／３）
『数ⅠＡ編』の６－２１。「同じ人数ずつ名前の無いグループに分けるから、４！で割る。」を忘れていなければ、１０５通りという結果が出ます。
［問１］（２）（０点／７）
まず、普通に求めようとしますが、かなり大変とわかるので。余事象(『数ⅠＡ編』の６－２)のほうがいいのでは？と気が付きます。
例えば、同じ組になる状態を－で表現することにし、A、a、B、b、C、c、D、dの８人がいて、初めはAとa、Bとb、Cとc、Dとdが同じ組だったとします。（つまり、A－a、B－b、C－c、D－dとします。）ペアをシャッフルした後の組み合わせが以前のものと
（ⅰ）４組とも同じになる
１通り
（ⅱ）２組だけ同じになる
・A－a、B－bになるときなら、残りは「C－D、c－d」か「C－d、D－c」の２通り。
・A－a、Ｃ－ｃになるとき
・A－a、Ｄ－ｄになるとき
・Ｂ－ｂ、Ｃ－ｃになるとき
・Ｂ－ｂ、Ｄ－ｄになるとき
・Ｃ－ｃ、Ｄ－ｄになるとき
でも２通りになるので、２・６＝１２通り。
（ⅲ）１組だけ同じになる
・A－aになるときなら、
例えば、Bが誰と組むかを考えてみるといい。B－Cなら、残りは「ｂ－D、c－d」か「ｂ－d、ｃ－Ｄ」の２通り。同様に、B－cでも２通り。B－Ｄでも２通り。B－ｄでも２通り。よって、８通り。
・B－bになるとき
・Ｃ－ｃになるとき
・Ｄ－ｄになるとき
でも８通りになるので、８・４＝３２通り。
これら（ⅰ）（ⅲ）（ⅲ）を全体の１０５通りから引けばよいというわけです。
理屈の上では本の知識だけで解けることになりますが、現実に正解できるかというば怪しいです。
［問２］（１）（５点／５）
『数ⅡＢ編』の５－１０、５－２０で学んだ方法で解けばよい。
面積の計算は『数ⅡＢ編』の７－１２。２つの放物線の共有点のｘ座標は難しいものになりますが、そのまま解いてもいいし、『数ⅡＢ編』の７－１７でやったようにα、βとおいて解いてもいい。
［問２］（２）（２点／２）
ヘロンの公式。（『数ⅠＡ編』の数学お役立ち話４）
［問２］（３）（３点／３）
『数ⅠＡ編』の７－９で登場。「ｎ進法で２０２１（ｎ）と表される数」は、２・ｎ^３＋２ｎ＋１。
もし、２進法なら２という数は使わないはずだから、３進法、４進法、５進法、・・・ということになる。ｎ＝３のときは素数。ｎ＝４のときも素数。ｎ＝５のときは合成（素数でない）。
［問３］（０点／１０）（１０点／１０）
絶対値を場合分けで外せば、簡単にグラフが書けます。
ｘ軸、ｙ軸上にある格子点（整数点）は容易にわかるし、第一象限にあるものは、「おさえておきたい数ⅠＡⅡＢ基礎１００＋応用１００」のうかる８３で扱っています。第四象限にあるものは、それと同数。
［問４］（３点／１０）
Ｐ１（ｃｏｓΘ，ｓｉｎΘ）
Ｐ２（（１／２）・ｃｏｓΘ＋（１／２）・ｃｏｓ２Θ，（１／２）・ｓｉｎΘ＋（１／２）・ｓｉｎ２Θ）
これに、Θ＝π／４を代入すればよい。
Ｐ３（（１／２）・ｃｏｓΘ＋（１／２）^２・ｃｏｓ２Θ＋（１／２）^２・ｃｏｓ３Θ，（１／２）・ｓｉｎΘ＋（１／２）^２・ｓｉｎ２Θ＋（１／２）^２・ｓｉｎ３Θ）
Ｐ４（（１／２）・ｃｏｓΘ＋（１／２）^２・ｃｏｓ２Θ＋（１／２）^３・ｃｏｓ３Θ＋（１／２）^３・ｃｏｓ４Θ，（１／２）・ｓｉｎΘ＋（１／２）^２・ｓｉｎ２Θ＋（１／２）^３・ｓｉｎ３Θ＋（１／２）^３・ｓｉｎ４Θ）
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ということで、
Ｐｎ（（１／２）・ｃｏｓΘ＋（１／２）^２・ｃｏｓ２Θ＋・・・＋（１／２）^（ｎ－１）・ｃｏｓ（ｎ－１）Θ＋（１／２）^（ｎ－１）・ｃｏｓｎΘ，（１／２）・ｓｉｎΘ＋（１／２）^２・ｓｉｎ２Θ＋・・・＋（１／２）^（ｎ－１）・ｓｉｎ（ｎ－１）Θ＋（１／２）^（ｎ－１）・ｓｉｎｎΘ）になります。
ｘｎ＝（１／２）・ｃｏｓΘ＋（１／２）^２・ｃｏｓ２Θ＋・・・＋（１／２）^（ｎ－１）・ｃｏｓ（ｎ－１）Θ＋（１／２）^（ｎ－１）・ｃｏｓｎΘの極限ですが、最後の一つだけが形が違うので、別々に求めることになります。
まず、最後の一つにΘ＝π／３を代入した、ｌｉｍ（１／２）^（ｎ－１）・ｃｏｓ（ｎπ／３）は、はさみうちの原理（『数Ⅲ編』の４－８）で、０と求まります。
それ以外の所はΘ＝π／３を代入し、ｎ→∞にすると、
ｘｎ＝（１／２）・（１／２）＋（１／２）^２・（－１／２）＋（１／２）^３・（－１）＋（１／２）^４・（－１／２）＋（１／２）^５・（１／２）＋（１／２）^６・１＋・・・
＝（１／４）＋（－１／８）＋（－１／８）＋（－１／３２）＋（１／６４）＋（１／６４）＋・・・
ということで、京都大学の３の問題と同様に、ある項と、その３つ後の項を比べると、（１／２）^３倍になり、さらに角度がπ増えるためにｃｏｓの値が－１倍になり、結果－１／８倍になるため、
１、４、７・・・番目、２、５、８・・・番目、３、６、９・・・番目というふうにまとめると、各々が公比－１／８の無限等比級数になり、答えが求まります。
ｙｎの極限のほうも同じ方法でたどり着けます。
これも本の内容のみで解けることになりますが、現実に正解は厳しいと思います。
［問５］（１０点／１０）
『数Ⅲ編』の１－３を勉強した人は前半は余裕だったと思います。接線の方程式も『数Ⅲ編』の１－５で出来ます。
その後、Ｐ（ｐ、ｑ）と取るとき、『数ⅡＢ編』の数学お役立ち話１５で言ったように、「双曲線上にあるので、代入して、・・・①」を忘れないようにしたいです。
Ｔ／Ｓは、ｐとｑの式になるため、ｑを消去したいということで、ｑ＝の形にして代入するが普通。でも、今回は√になって面倒なので、”Ｔ／Ｓの２乗”の最大値を求めて、最後に√を付けるのが賢いでしょう。
数Ⅲの増減表でも解けますが、ｐ＾（－４）、ｐ＾（－２）、定数項というふうに、偶数乗しかないので、京都大学の２の問題でも登場した通り、ｐ＾（－２）をｔとかの文字に置き換えて、２次関数で考えるのが頭のいいやり方です。
早稲田大学（人間科学・理系）の問題は５０点満点ですが、
「やさしい～シリーズ」のみで勉強した人は２６点、
「やさしい～シリーズ」「おさえておきたい数ⅠＡⅡＢ基礎１００＋応用１００」両方で勉強した人は３６点ということになります。
「おさえておきたい数Ⅲ５０＋５０」の発売は、早稲田大学の入試後になって残念でしたが、今後はもっと正解率が上がると思われます。
２０２０年・センター試験
数ⅠＡ
第１問
[１] （１）ア～ウは、２次不等式（『数ⅠＡ編』の３－１１）
（２）ｘ軸との交点は、ｙ＝０を代入すれば求まるのは、いまさら言う必要もない。エ～キは、分数無くしてから、やはり、２次不等式で解けます。ク～シは、代入して、分母を有理化（『数ⅠＡ編』の１－１２）して答えるだけです。
[２] （１）要素（『数ⅠＡ編』の２－１のｐ．１５４）、共通部分、補集合（『数ⅠＡ編』の２－３）等の基本がわかっていれば、スは全く問題ないでしょう。
（２）セ～タは説明するまでも無いでしょう。
（３）反例（『数ⅠＡ編』の２－７のｐ．１７８）の意味が分かっていれば、（１）（２）の結果からチも解けます。
[３] （１）平行移動しても最高次の係数は変化しない（『数ⅠＡ編』の３－５のｐ．２１６）。また、x軸との２つの交点がかっていることから、『数ⅠＡ編』の３－５のコツ１７のやり方が使えて、ツ、テが求まります。
ト～ヌは、まず、直線ｘ＝３との交点のｙ座標か求められて、これが－３から０の間（両端を含む）にあるということで、ここも、２次不等式（『数ⅠＡ編』の３－１１）で解けます。
（２）Ｇが点（３，－１）を通るから、ｘ、ｙに代入できて、ｃが求まります。平方完成（『数ⅠＡ編』の３－２）すれば、頂点の位置より、どれだけ平行移動しているのかがわかり（『数ⅠＡ編』の３－４のｐ．２１１）、ネ～ヒが解けます。ｙ軸との交点は、ｘ＝０を代入するだけなのでフ～ホは楽勝でしょう。ｐ＾２
第２問
[１] アは、△ＢＣＤで余弦定理（『数ⅠＡ編』の４－１０）で求まります。
三角比の相互関係（『数ⅠＡ編』の４－５）を使ってcos∠ＢＣＤからsin∠ＢＣＤを求め、△ＢＣＤで正弦定理（『数ⅠＡ編』の４－９）を使えば、sin∠ＢＤＣがでます。sin∠ＡＤＣはsin（１８０°－∠ＢＤＣ）ということで、１８０°－Θの公式（『数ⅠＡ編』の４－１３のｐｏiｎｔ３７）を使えばイ～エが求まります。（または、△ＢＣＤで余弦定理を使って、まずcos∠ＢＤＣを出し、９０°－Θの公式（『数ⅠＡ編』の４－１３のｐｏiｎｔ３８）でsin∠ＢＤＣを導いた後、sin∠ＡＤＣを出してもいいです。）
オは、角の2等分線の比（『数ⅠＡ編』の４－１４のｐｏｉｎｔ３９）でわかります。
ＡＤ＝ｘ、ＡＣ＝゛ルート２”倍のｘとして、△ＡＣＤで、３辺とｃｏｓ∠ＡＤＣで余弦定理を使うと、ｘ＝１となり、キ～ケの答えにたどり着きます。
（ちなみに、△ＡＣＤで、３辺とｃｏｓ∠ＡＣＤで余弦定理を使った人は、ｘ＝１，２の答えがでます。しかしｘ＝２なら、△ABCは、ＣＡ＝ＣＢの二等辺三角形で、∠ＡＤＣ＝９０°になってしまい、矛盾が生じます。）
キ～ケは、外接円の半径なので、当然、正弦定理です。よって、Ａ、Ｂ、Ｃいずれかの角のsinの値を前もって求めておかなければなりません。△ＡＤＣで正弦定理を使ってsin∠ＤＡＣを求めます。（または、△ＢＤＣで正弦定理を使ってsin∠ＤＢＣを求めてもいいし、数Ⅱの知識のある人はsin∠ＡＣＢを2倍角の公式使って求めた人もいるでしょう。）そして、最後に△ＡBＣで正弦定理を使って終了です。
[２] （１）⓪は一瞬、正しいように見えるが、誤。例えば、７人がテストを受けて、一人が７０点。他の六人が全員０点なら、平均は１０点だが、第一四分位数、第三四分位数ともに０になり、成り立たないはずです。
①は異常に難しいので、飛ばした方がいいです。説明も省略します。出題者側も解けないのを承知で出しているはずです。
②は、例えばすべて同じ値のときとかは成り立ちません。
③９９個の値を小さい順に並べると、５０番目が中央値。１～４９番目の真ん中（つまり、２５番目）が第一四分位数になります。
最大のものを除いた９８個で考えると、真ん中が無いので、４９番目と５０番目の平均が中央値で、1～49番目の真ん中が第一四分位数になるので、変わりません。よって、正しいです。
➃も、すべて同じ値のときなどは成り立ちません。怪しいと思ったら、反例を探してみるといいです。（『数ⅠＡ編』の２－７のコツ１３）極端な例を考えたほうが見つけやすいと思います。
⑤第一四分位数より小さいものと、第三四分位数より大きいものを削除すれば、第一四分位数、第三四分位数だったものが、それぞれ最小、最大になります。よって、元のデータの四分位範囲と、削除後の範囲は同じものです。
ここから、コ、サの答えは、③、⑤とわかります。
（２）箱ひげ図（『数ⅠＡ編』の５－３）の問題。
（Ⅰ）はＰ１０が当てはまらないので誤。（Ⅱ）は見たらすぐ誤とわかる。（Ⅲ）はＰ４７の最小でさえ、Ｐ１の最大と比べて１．５以上大きい。ましてや、お互いの値どうしを比べればなおさら差が大きいわけで、正。よって、シは⑥。
（３）箱ひげ図とヒストグラム（『数ⅠＡ編』の５－３）の問題。
どこから見てもいいのだが、例えば、最小は７９．５以上８．０未満、最大は８１．５以上８２．０未満であることに注目すると、その時点で➃、⑤のどちらかということになる。
中央値は、値の小さいほうから数えて１０人目と１１人目の平均ということになるが、二人とも８０．５以上８１．０未満になるので、平均もそういう値になるが、これは、どちらも満たしている。
第一四分位数は、５人目と６人目の平均ということになるということで、スの答えは➃になる。
（４）散布図（『数ⅠＡ編』の５－６）とヒストグラム（『数ⅠＡ編』の５－３）の問題。問題でも説明しているが、一番下の斜線は男女の平均寿命の差が５．５、その上が６．０ということで、その間に９人いる。ということは、当てはまるのは③しかなく、これがセの答えになる。
第３問
[１] ⓪は、「少なくとも１回は・・・」ということなので、余事象（『数ⅠＡ編』の６－２）で求めます。５回ともウラが出る確率は"（1/2）の５乗"、つまり、1/32なので、確率ｐ＝１－1/32＝31/32＝０．９６・・・ということで、これは正しいです。
①は、間違いです。「試行を５回やってみたら、赤球が３回出た。」は今回たまたまそうなっただけの話で、同じことをもう一度やれば違う結果になるかもしれません。（何百回、何千回もやって平均を取れば本当の値にかなり近づききますが、それでも完全に一致するわけではありません。）
②は、まず、確率の問題ですから、小道具は区別して考えます。（『数ⅠＡ編』の６－２３）い、ろＡ、ろB、はＣ、はＤの５個あるとしましょう。
これも余事象のほうが楽でしょう。全体で5Ｃ２＝１０通りで、このうち同じ文字を取るのは、「ろＡ、ろBを取ったとき」と「はＣ、はＤを取ったとき」の２通りなので、確率は2/10＝1/5。よって、書かれた文字が異なる確率は１－1/5＝4/5なので、正しいです。
この段階でア、イの答えは、⓪、②とわかるので、③は目を通す必要はありませんが、一応、触れておきます。
条件付き確率（『数ⅠＡ編』の６－２９）です。「出た面を見た２体がともにオモテと発言する事象」をA、「実際に表が出ている事象」をBとすると、求めるものは、P(A⋀B)/P(A)、つまり、
（出た面を見た「２体がともにオモテと発言し、かつ、実際に表が出ている確率）／（出た面を見た２体がともにオモテと発言する確率） です。
まず、分子ですが、表が出る確率は1/2、つまり、０．５。２体が「オモテ」と発言する確率はともに０．９より、０．５×”０．９の２乗”。
分母は、「表が出て、２体がともにオモテと発言する確率」の他に、「ウラが出て、２体がともにオモテと発言する確率」もあるので注意しましょう。後半の確率は、０．５×”０．１の２乗”なので、合わせて、０．５×”０．９の２乗”＋０．５×”０．１の２乗”です。
求める確率ｐ＝０．５×”０．９の２乗”／（０．５×”０．９の２乗”＋０．５×”０．１の２乗”）
＝”０．９の２乗”／（”０．９の２乗”＋”０．１の２乗”）
＝”９の２乗”／（”９の２乗”＋”１の２乗”）
＝81/82
＝０．９８・・・
よって、間違いです。
[２] （１）ウ、エは２回ともウラが出たということで、確率は"（1/2）の２乗"、つまり、1/４です。
オ、カは、表、ウラが１回ずつ出たということで、表、ウラの順に出たら確率は"（1/2）の２乗"ですが、ウラ、表の順に出たときがあるので（『数ⅠＡ編』の６－１６）、"（1/2）の２乗"×２で、1/2です。
（２）持ち点が再び０点になるのは、表が１回、ウラが２回出たときなので、キの答えは３回です。確率は、表、ウラ、ウラの順に出たら"（1/2）の３乗"で、それと同じものが3!/2!＝３通りあるので（『数ⅠＡ編』の６－１６）、"（1/2）の３乗"×３で、ク、ケの答えは3/8です。
（３）持ち点が４点で終了したということは、５回投げたということで、そのうち表が３回、ウラが２回出たということです。確率は、表、表、表、ウラ、ウラの順に出たら"（1/2）の５乗"で、それと同じものが何通りあるかですが、普通に並べると5!/3!2!＝１０通りです。しかし、ここで注意して欲しいのは、「初めの３回で表が１回、ウラが２回出てはいけない。」ということです。それならば、３回終了時に持ち点が０点で終了してしまうからです。（ここは、『やさしい高校数学』で扱っていない内容です。）初めの３回で表が１回、ウラが２回出るのは（２）で求めたように３通り。その次の２回でともに表が出るのは１通りなので、３×１＝３通りあります。これは除かなければなりません。よって、１０－３＝７通りということになります。"（1/2）の５乗"×７で、コ～シの答えは7/32です。
（４）条件付き確率（『数ⅠＡ編』の６－２９）です。「ゲームを終了した時点で持ち点が４点である事象」をA、「コインを２回投げ終わって持ち点が１点である事象」をBとすると、求めるものは、P(A⋀B)/P(A)、つまり、
（ゲームを終了した時点で持ち点が４点であり、かつ、コインを２回投げ終わって持ち点が１点である確率）／（ゲームを終了した時点で持ち点が４点である確率）
です。分母は（３）で既に求めているため、分子を求めましょう。コインを２回投げ終わって持ち点が１点ということは、１、２回目は表、ウラ１回ずつ。そして、次で終了してはいけないので、３回目は表を出し、残りの４、５回目も表、ウラ１回ずつということになります。
"（1/2）の２乗"×２×（1/2）×"（1/2）の２乗"×２＝1/8
となり、ス、セは4/7になります。
第４問
（１）ア～エは、循環小数を整数に直す問題（『数ⅠＡ編』の１－１１）です。「ｎ個の循環なら、"１０のｎ乗"を掛けると桁がｎ個繰り上がり、これから元の式引けば循環の部分が消える。」ということで、今回は"１０の２乗"つまり１００を掛ければ、桁が２個繰り上がり、計算ができます。かなり有名な問題ですが、問題がご丁寧にやり方を説明してくれていて、優しいなと感じました。
（２）（１）と同じです。今回は７進法なので、"７の２乗"つまり４９を掛けると、桁が２個繰り上がり、同様の計算ができます。このとき、左辺は１０進法だが、右辺は7進法になっているので１０進法に直す必要があります。（『数ⅠＡ編』の７－９の例題７－１３（３））
オ～クは、これで求められます。
（ⅰ）ｙの分母は４８ですが、これが約分されて４になるということは、分子は１２の倍数でなければなりません。
しかし、２４の倍数になってしまうと、さらに約分されて分母は２になってしまうのでダメです。
また、★ａ、ｂは０以上６以下の異なる整数なので、分子の９８＋７ａ＋ｂが最小になるのは、ａ＝０、ｂ＝１のときで９９。最大になるのは、ａ＝６、ｂ＝５のときで１４５です。（『やさしい高校数学』で扱っていない内容です。）
さらに、☆もしもａ、ｂが同じ数なら、７ａ＋ｂは７ａ＋ａ＝８ａで、8の倍数になるし、その逆もいえます。今回のａ、ｂは異なる整数なので、８の倍数になりません。（『やさしい高校数学』で扱っていない内容です。）
すなわち、分子は、
・１２の倍数だが、２４の倍数でない
★９９から１４５までの整数
☆９８＋（８の倍数）でない。
の条件を満たすもので、当てはまるのは、１０８と１３２のみです。それぞれｙ＝9/4、ｙ＝11/4ということになり、これがケ～サの答えです。
（注：実際は、★のようにせず大雑把に「９８＋７ａ＋ｂだから、９８以上だろう。」とした人、☆が全く思い浮かばなかった人、またはその両方の人でも、今回は答えに影響せず、マーク式なら正解できます。かなり不本意ですが、『やさしい高校数学』の知識だけで正解に辿り着ける問題としてカウントします。厳密には上のように解くべきで、★、☆の無い人は記述式のときは減点の対象になるので注意してください。）
ｙ＝11/4のときは、７ａ＋ｂ＝３４より、当てはまるのは、ａ＝４、ｂ＝６で、これがシ～ソの答えです。
（ⅱ）ｙ－２＝(7a+b)/48であり、約分して分子が1になるということは、７ａ＋ｂが４８の約数ということになります。ただし、４８なら、分母も１になって当てはまりません。
さらに、（ⅰ）で述べた通り、７ａ＋ｂは８の倍数になりません。
すなわち、分子は、
・４８を除く、４８の約数
・８の倍数でない。（ここは、『やさしい高校数学』で扱っていない内容です。）
の条件を満たすものです。
４８＝"２の４乗”×３として約数を考えますが、「２」を３回以上かけると８の倍数になってしまうため、
「２」は掛けない、１回掛ける、２回掛けるの３通り、
「３」は掛けない、１回掛けるの２通りというわけで、
３×２＝６個あります。（『数ⅠＡ編』の７－４）
これで、タが求まりました。
第５問
アはチェバの定理、イ～オはメネラウスの定理（いずれも『数ⅠＡ編』の８－７）です。
カ～クは、それぞれの三角形が全体の何倍かを調べるだけです。
△CDGはBCを底辺と考えると、△ABCと比べ、底辺が1/8、高さが1/2なので、全体の1/16。△ＢＦGはＡBを底辺と考えると、△ABCと比べ、底辺が1/2、高さが7/9なので、全体の7/18。前の結果から後ろの結果を割れば答えになります。
ＦＤがわかれば、ＥＣの長さもわかるので、ＡB＝ｘとして方べきの定理（『数ⅠＡ編』の８－９）を使えばケ、コの答えがわかります。
ＡＥがわかれば、ＡＦの長さがわかります。サ、シは楽勝でしょう。
この答えが、先ほどの問題で計算したＡＢ・ＡＧの値と一致していることに気が付けば、４点Ｂ、Ｇ、Ｅ、Ｃが同一円周上にあると気が付き（『数ⅠＡ編』の８－１３のｐ．５８９の要チェック③)、∠AＥＧ＝∠ABCとわかって、スが求まります。
数ⅡＢ
第１問
[１] （１）加法定理（『数ⅡＢ編』の４－１０）を知っていたらア～ウが求まります。その結果を①に代入して、一方の辺に集め、三角関数の合成（『数ⅡＢ編』の５－２０）でエがわかります。は説明するまでもないでしょう。その後は、『数ⅡＢ編』の４－４の知識です。角度がΘ＋π／３なので、まず、Θ＋π／３の範囲を求めて、それを単位円になぞると、sinが負、つまり、ｙ座標が負の所がΘ＋π／３の答えになります。後は、Θに直すの忘れないように。オ～クの答えが出ます。
（２）２次方程式の解と係数の関係（『数ⅡＢ編』の２－７）より、ｓｉｎΘ＋ｃｏｓΘ、ｓｉｎΘｃｏｓΘの値が出ます。そして、ｓｉｎΘ＋ｃｏｓΘとｓｉｎΘｃｏｓΘの関係（『数ⅠＡ編』の４－７のｐｏiｎｔ３２）に当てはめると、ケ、コが求まります。ｋがわかったことで、元の2次方程式が計算出来て、サ～セが求まります。Θの場所を単位円に書き込んでみましょう。π／４やπ／３のときｙ座標がどうなるかを考えれば、ソの答えがわかるでしょう。
[２] （１）は、『数ⅠＡ編』の５－７の知識を使うだけです。ａをｔ、ｘを1/3と考えれば簡単に求められます。
（２）積、商、累乗の対数の公式（『数ⅡＢ編』の５－１３）を使って変形し、指定された通りに置き換えれば、ヌ～フが求まります。
横軸Ｘ、縦軸Ｙのグラフで領域か書けて、ヘがわかります。Ｙがわかったことで、Ｘの範囲もわかり、ｘの範囲も求まって、ホの結果にたどり着きます。
第２問
（１）ア～シは、共通接線（『数ⅡＢ編』の６－１０）知っていれば、楽勝だったと思います。まさに、サービス問題でした。
（２）スは連立するだけ。セ、ソは定積分で計算です。Ｃと直線ｌはｘ＝０で接しているので、連立させたり、引いたりしたら、ｘ＝０の重解をもつ。つまり、”ｘの２乗”を因数にもつことになります。これを使うと計算が楽です。（『数ⅡＢ編』の７－１３のｐ．５７０）
（３）１は、０とａの間にあるのか、ａと２ａの間にあるのか不明です。それによって囲まれる図形が変わるので、場合分けして考えるとになります。タ～ヌの答えが出ます。
（４）普通に計算すれば、3次関数になります。増減表で最大値が求められます。（『数ⅡＢ編』の６－１６）
第３問
（１）アは、ｎ＝１を代入するだけ。
（２）イも、ｎ＝１を代入するだけ。
今回は置きかえ方が書いてあるので、ヒントのある漸化式（『数ⅡＢ編』の８－３２）の方法で解けます。ｂｎ+１＝で計算すれば、右辺の一部にｂｎに当たるものが現れて、それを置き換えると、ウ～カがわかります。
そして、右辺の分数部分を２つの分数に変形すると（『数ⅡＢ編』の８－１６のｐ．６６１）、キが求まります。
出来た式は、階差数列の漸化式（『数ⅡＢ編』の８－２４）なります。Σの部分の計算は時間がかかるので、そこだけピックアップして計算しているようです。分数列（『数ⅡＢ編』の８－１６）の知識を使えば、ク～コに入る数がわかるし、Σａ”ｒのｋ－１乗”（『数ⅡＢ編』の８－１３）の計算を知っていれは、サ～セも求められます。
それらの結果を階差数列の計算式に代入すれば、ソ～チが出てきます。
（３）ｂｎの所に（２）の冒頭の式を入れて計算すれば、ツ～ヌです。
（４）ａ３ｋ＝”３の３ｋ－１乗”×（９×”ｋの２乗”－４）＋（９／２）×ｋ（ｋ＋１）＋１
になります。各項を一つ一つ見ていきましょう。
”３の３ｋ－１乗”×（９×”ｋの２乗”－４）は３の倍数です。
また、ｋ、（ｋ＋１）のどちらかは偶数になるので、（９／２）×ｋ（ｋ＋１）は整数です。もっと言えば、９の倍数になります。（ということは３の倍数ともいえる。）
（３の倍数）＋（３の倍数）＋１という数なので、３で割った余りは１です。これがネの答えになります。
ａ３ｋ＋１＝”３の３ｋ乗”×（９×”ｋの２乗”＋６ｋ－３）＋（１／２）×（３ｋ＋２）（３ｋ＋３）
”３の３ｋ乗”×（９×”ｋの２乗”＋６ｋ－３）は３の倍数です。
また、（３ｋ＋２）、（３ｋ＋３）のどちらかは偶数になるので、（１／２）×（３ｋ＋２）（３ｋ＋３）は整数で、３の倍数です。
（３の倍数）＋（３の倍数）という数なので、３で割った余りは０です。これがノの答えになります。
ａ３ｋ＋２＝”３の３ｋ＋１乗”×（９×”ｋの２乗”＋１２ｋ）＋（１／２）×（３ｋ＋３）（３ｋ＋４）
”３の３ｋ＋１乗”×（９×”ｋの２乗”＋１２ｋ）は３の倍数です。
また、（３ｋ＋３）、（３ｋ＋４）のどちらかは偶数になるので、（１／２）×（３ｋ＋３）（３ｋ＋４）は整数で、３の倍数です。
（３の倍数）＋（３の倍数）という数なので、３で割った余りは０です。これがハの答えになります。
ａ1＝０、ａ2＝６より、これらは３の倍数です。また、
ａ３ｋが（３の倍数）＋１ということは、ａ3、ａ6、ａ9、・・・ａ2019は、（３の倍数）＋１という数です。
ａ３ｋ+1が３の倍数ということは、ａ3、ａ6、ａ9、・・・ａ2020は、３の倍数という数です。
ａ３ｋ+2が３の倍数ということは、ａ5、ａ8、ａ11、・・・ａ2018は、３の倍数です。
ａ3、ａ6、ａ9、・・・ａ2019は、６７３個あります。
ということは、ａ1からａ2020まですべて足すと、（３の倍数）＋６７３という数になるということで、これを３で割ると余りは１で、これがヒの答えになります。
（４）は、『やさしい高校数学』の知識のみで解くのは難しいと考えます。(たまたま解けた人もいるかもしれませんが・・・)
第４問
（１）ア～エは、ベクトルの成分から大きさを求める公式（『数ⅡＢ編』の９－３のpoint９０）。オ、カは、ベクトルの成分から内積を求める公式（『数ⅡＢ編』の９－８のpoint９５）です。
（２）（"ＯＡベクトル"）＝（"ａベクトル"）、（"ＯＢベクトル"）＝（"ｂベクトル"）、（"ＯＣベクトル"）＝（"ｃベクトル"）とすると、
『数ⅡＢ編』の９－２７のｐｏiｎｔ１０４の知識を使うと、Ｃは、３点Ｏ、Ａ、Ｂと同じ平面上にあることから、（"ｃベクトル"）＝（１－ｓ－ｔ）（"０ベクトル"）＋ｓ（"ａベクトル"）＋ｔ（"ｂベクトル"）、つまり、（"ｃベクトル"）＝ｓ（"ａベクトル"）＋ｔ（"ｂベクトル"）と表せます。しかし、毎度のことながら、出題側は「知らないんじゃないか?」ということで、（"ＯＣベクトル"）＝ｓ（"ＯＡベクトル"）＋ｔ（"ＯＢベクトル"）と書いてくれています。
①より、（"ＯＡベクトル"）⊥（"ＯＣベクトル"）ということは、（"ＯＡベクトル"）・（"ＯＣベクトル"）＝０（『数ⅡＢ編』の９－９）です。また、（"ＯＢベクトル"）・（"ＯＣベクトル"）＝２４もわかっています。
（"ＯＣベクトル"）の成分をｓ、ｔで表して、これらで計算すれば、２式できて、連立させればキ～コがわかります。（"ＯＣベクトル"）の成分がわかったことで、その大きさもわかり、サ、シが求まります。
ちなみに、（"ＯＣベクトル"）の成分を求めずに、（"ＯＣベクトル"）＝ｓ（"ＯＡベクトル"）＋ｔ（"ＯＢベクトル"）の形のまま①の式に代入しても求められます。
『数ⅡＢ編』の９－７のｐ．７５８で出てきた、（"ＯＡベクトル"）・（"ＯＡベクトル"）＝"｜"ＯＡベクトル"｜の2乗"の知識を知っていればキ～コがわかります。
成分がわかっていなくて、｜"ＯＣベクトル"｜つまり｜（－2/3）×（"ＯＡベクトル"）＋（"ＯＢベクトル"）｜を求めるやり方は『数ⅡＢ編』の９－１１で勉強しているので、大丈夫でしょう。
（３）Ｃの座標がわかり、（"ＣＢベクトル"）の成分は、（Ｂの座標）－（Ｃの座標）（『数ⅡＢ編』の９－２）で求められます。（"ＣＢベクトル"）が（"ＯＡベクトル"）の正の定数倍ということで、向きが同じとわかり、四角形ＯＡＢＣは台形になります。これが、チです。
ツ、テは図を書いて、小学校で習った、(上底＋下底)×高さ×（1/2）の公式で求めてください。
（４）Ｄの座標を（ｘ，ｙ，１）として、普通に計算すれば、ト～ノがわかります。ここから、｜"ＯＤベクトル"｜もわかります。∠CODは、（"ＯＣベクトル"）と（"ＯＤベクトル"）のなす角のことなので、『数ⅡＢ編』の９－８のコツ２０で求めれば、ハ、ヒがわかります。
（"ＯＡベクトル"）は、平面β上の二つの一次独立な（"ＯＣベクトル"）、（"ＯＤベクトル"）に対して、両方と垂直なので、（"ＯＡベクトル"）⊥平面β（『数ⅡＢ編』のお役立ち話２８）とわかります。よって、平面α⊥平面βになるわけですが、さすがに気が付かないだろうということで、これは問題文に書いてくれています。
紙を二枚用意し、一枚を机の上に置いて、これを平面αと見なし、それに垂直になるように立てたもう一枚を平面βと考えます。そして、今までわかった長さや角度を書き込んでいきます。Ｄから直線ＯＣに垂線下すと、３０°、６０°、９０°の直角三角形になることから三辺の長さの比がわかり（『やさしい中学数学』中３の６－３のｐｏｉｎｔ７１）、フが判明します。
底面の△ＡＢＣの面積は求められるし、高さもわかっていますから、（底面積）×（高さ）×（1/3）（『やさしい中学数学』中１の６－１３のｐｏｉｎｔ３１）の公式でヘ、ホを求めて終了です。
数ⅠＡは、第３問と第４問を選択した人は８９点、第３問と第５問なら９３点、第４問と第５問なら９６点。
数ⅡＢは、９７点。
２０１９年・センター試験
数ⅠＡ
第１問
[１] ア、イは、中学校で習った因数分解の公式を使います（『やさしい中学数学』中３の１－１４）。ウ～サは、まず、「２乗のルート」は絶対値になり（『数ⅠＡ編』の１－２９）、その後は絶対値を２つある式（『数ⅠＡ編』の１－２８）の計算で出来ます。
[２] （１）否定（『数ⅠＡ編』の２－６）がわかっていれば、大丈夫です。
（２）必要条件、十分条件（『数ⅠＡ編』の２－８）。特に、タは普通に考えると難しいので、対偶が真か偽かを調べるといいでしょう（『数ⅠＡ編』の２－７）。
[３] （１）平方完成（『数ⅠＡ編』の３－２、３－１０）。
（２）点（－１,６）を通るから、ｘ、ｙに代入できて、ｂがａの２次式で表されます。その後は平方完成（『数ⅠＡ編』の３－２）し、２次関数の最大最小（『数ⅠＡ編』の３－６）、平行移動（『数ⅠＡ編』の３－４）の知識で解けます。
第２問
[１] ア～エは、余弦定理（『数ⅠＡ編』の４－１０）、オ～キは、三角比の相互関係（『数ⅠＡ編』の４－５）、ク、ケは、１８０°－Θの公式（『数ⅠＡ編』の４－１３のｐｏiｎｔ３７）を使えば求まります。さらに、ＡＣの中点をＭとすると、直角三角形ＡＭＤを使ってコがわかる（『数ⅠＡ編』の４－１）。三角形の面積の公式（『数ⅠＡ編』の４－１２）で△ＡＢＣの面積を求めると、ＡＤがＡＢの何倍かわかっているわけですから、サ～セもわかります。
[２] （１）（２）ヒストグラムと箱ひげ図（『数ⅠＡ編』の５－３）を知っていれば楽勝でしょう。「四分位範囲」という言葉が登場しますが、この意味は『数ⅠＡ編』の５－２で説明しています。
（３）テ、トは普通に計算すれば求まります。テのほうは、「偏差つまり『値－平均』を全部足せば０に決まっている。和が０ということは、平均も０でしょ。」ということに気が付いた人はもっと素晴らしいです。各偏差を全部Ｓで割って足しても０だから、平均も０ということで、トもわかります。
ト、ナは『数ⅡＢ編』の１０－３の知識を使えば早いです。
「ａＤ+ｂの平均」は、ａ×「Ｄの平均」+ｂ
「ａＤ+ｂの分散」は、「Ｄの分散」のａ２倍、
「ａＤ+ｂの標準偏差」は、「Ｄの標準偏差」の|ａ|倍、
Ｘi´＝（１/ｓ）・Ｘi－（１/ｓ）・（ｘの上に横棒のついたもの）で、
Ｘiの平均が（ｘの上に横棒のついたもの）なので、
Ｘi´の平均は（１/ｓ）・（ｘの上に横棒のついたもの）－（１/ｓ）・（ｘの上に横棒のついたもの）。すなわち０です。
Ｘi´の標準偏差は、Ｘiの標準偏差の|１/ｓ|倍つまり１/ｓ倍だから、１です。
２０１６、２０１７年でも登場しており、必ず覚えて試験に望むように強調したので、従ってくれた人はラッキーでしたね!
ちなみに、ナは普通に計算しても求められますが、かなりハードなので、２０１７年と同じ理由で、（個人的にはちょっと腑に落ちないのですが、）『やさしい高校数学』では、扱っていない問題とみなします。
ニは難しいです。図４を見てみましょう。横軸がＭですが、これから平均（９３くらい?）を引いて、１/ｓ倍つまり正の数を掛けたものが、図５の横軸Ｍ´です。要するに「値をずらして縮小した」だけです。縦軸のほうもそうです。ということは、散布図の点の配置は変わっていないわけなので、図５の０、２のどちらかになります。そして、図５の０の横軸Ｍ´に注目してみましょう。Ｍ´の平均は０です。各値の偏差つまり『値－平均』はすべて－１から１の間です（差なら０から１の間）。これらを２乗した値は０..・・・という数です。それらを全部足して、個数で割ると、分散も０..・・・という数になります。標準偏差はそれに√を付けた数なのでやはり０..・・・という数になります。ナで標準偏差が１と求めたわけなので、矛盾することになり、２が正解です。これも『やさしい高校数学』では、扱っていない問題とみなします。
第３問
（１）ア、イは「１回目に赤い袋を選び、かつ、赤い袋から赤球をとる。」なので、確率どうしをかけます。ウ、エも「１回目に白い袋を選び、かつ、白い袋から赤球をとる。」なので、やはり、確率どうしをかけます。（『数ⅠＡ編』のお役立ち話７
（２）普通やっても求められますが、余事象（『数ⅠＡ編』の６－２）のほうが楽でしょう。（１）から赤球を取るほうの確率がすぐわかるからです。ア、イとウ、エの２つのケースがありますが、どちらか一方しか起こらないから足すことになります。（『数ⅠＡ編』のお役立ち話７）それを全体の確率１から引けば正解になります。
（３）同じような感じです。「１回目に白玉を取り、かつ、２回目は白い袋から白球をとる。」と、「１回目に赤玉を取り、かつ、２回目は赤い袋から白球をとる。」の両方を求めて足せばク、ケがわかるのですが、ｐという数は（２）で求めているので、そのまま代入するとコ～セがわかります。ソ～トも、「２回目に白玉を取り、かつ、３回目は白い袋から白球をとる。」と、「２回目に赤玉を取り、かつ、３回目は赤い袋から白球をとる。」の両方を求めて足せばいいです。
（４）条件付き確率（『数ⅠＡ編』の６－２９）です。
第４問
（１）ア～キは、ａｘ+ｂｙ＝ｃ（ａ、ｂ、ｃは整数）を満たす整数ｘ、ｙを求める（『数ⅠＡ編』の７－８）という問題です。
（２）Ａは４９の倍数なのでａ＝４９ｘ（ｘは整数）とおけるし、Ｂは２３の倍数なのでｂ＝２３ｙ（ｙは整数）とおける。（『数ⅠＡ編』の７－６）
ク～コですが、４９ｘ－２３ｙ＝１と、４９ｘ－２３ｙ＝－１があり、
前者は（１）で求めました。ｘ＝２３ｋ+８、ｙ＝４９ｋ+１７（ｋは整数）で、ｘ、ｙが最小の自然数になるのは、ｋ＝０のときでｘ＝８、ｙ＝１７です。
後者は求めるところから始めます。まず、「４９ｘ－２３ｙ＝－１の答えのうちの一つ」を探すのですが、（１）の計算の冒頭で、ｘ＝８、ｙ＝１７を代入すれば４９ｘ－２３ｙ＝１が成り立つとわかりました。ということは、ｘ＝－８、ｙ＝－１７を代入すれば４９ｘ－２３ｙ＝－１が成り立つということになります。その後計算すると、ｘ＝２３ｋ－８、ｙ＝４９ｋ－１７（ｋは整数）で、ｘ、ｙが最小の自然数になるのは、ｋ＝１のときでｘ＝１５、ｙ＝３２です。
前者のほうが小さいようです。
サ～スは、４９ｘ－２３ｙ＝２と、４９ｘ－２３ｙ＝－２があります。
やり方は変わりません。ｘ＝８、ｙ＝１７を代入すれば４９ｘ－２３ｙ＝１が成り立つとわけだから、ｘ＝１６、ｙ＝３４を代入すれば４９ｘ－２３ｙ＝２が成り立つということになります。以下同様に解いてください。
ｘ＝－１６、ｙ＝－３４を代入すれば４９ｘ－２３ｙ＝－２が成り立つということになります。これも以下同様に解いてください。
（３）セは、ユークリッドの互除法（『数ⅠＡ編』の７－７）ａ+２をａで割ると２余るので、「ａとａ+２の最大公約数」は「ａと２の最大公約数」と同じです。
ソですが、『数ⅠＡ編』の７－６で登場したように、ａ＝３ｋ,、３ｋ－１、３ｋ－２（ｋは自然数）と場合分けして考えれば、いずれの場合も３の倍数になるとわかります。しかし、３の倍数は３つごとに登場すわけなので、「連続した３つの整数には、３の倍数になるものが１つだけある。」という事実を使えばも楽です。ａ、ａ+１、ａ+２のいずれかひとつが必ず３の倍数になるということは、それらを掛けたのは常に３の倍数になります。また、少なくとも１つは２の倍数になるので、２の倍数になります。つまり、６の倍数です。
（４）タ～テは素因数分解（『数ⅠＡ編』の７－２）です。
その後ですが、ｂ、ｂ+１、ｂ+２の中で７の倍数になるものは、無いか、１つだけあるかのどちからです。掛けて７２の倍数になるということは、どれか１つが７２つまり４９の倍数でなければなりません。２３の倍数になるものも、無いか、１つだけあるかのどちからで、掛けて２３の倍数になるということは、どれか１つが２３の倍数です。（まあ、問題文に結果書いてあるから、これらに気がつかなくても解けますけどね。）
「４９の倍数と２３の倍数で、かつ、その差の絶対値が１になるもの」で最小数の組み合わせは、（２）のク～コで、４９×８＝３９２と２３×１７＝３９１と求めていますので、「ｂ＝３９１かつｂ+１＝３９２」か「ｂ+１＝３９１かつｂ+２＝３９２」です。
「４９の倍数と２３の倍数で、かつ、その差の絶対値が２になるもの」で最小数の組み合わせは、（２）のサ～スで、４９×７＝３４３と２３×１５＝３４５と求めていますので、「ｂ＝３４３かつｂ+２＝３４５」です。
これらの中で最小になるのは、ｂ＝３４３です。
第５問
ア、イは、内接円の半径（『数ⅠＡ編』の４－１２）です。ウは、円外の点から円に引いた２本の接線の長さが等しい（『やさしい中学数学』中２の５－４のＣＨＥＣＫ１４０、『数ⅠＡ編』の８－５）ということを使えばいい。エ～キは余弦定理（『数ⅠＡ編』の４－１０）。
ク～コはチェバの定理（『数ⅠＡ編』の８－７）で、ここで前半で登場した「円と辺ＢＣの接点」と、Ｑが同じ点であることに気が付けば解けます。ＩＱは内接円の半径なので、サ、シはア、イと同じ答えになります。
ス～ソは接弦定理（『数ⅠＡ編』の８－８です。
数ⅡＢ
第１問
[１] （１）は説明するまでもないでしょう。
（２）（３）オ～スは、Ａｓiｎ２Θ+ＢｓiｎΘｃｏｓΘ+Ｃｃｏｓ２Θの最大、最小（『数ⅡＢ編』の４－１８）です。解く手順が決まっている定番のものですが、問題はご丁寧に誘導してくれています。セ、ソは角がΘで表されている式（『数ⅡＢ編』の４－４）です。
[２] タ～テは、対数方程式（『数ⅡＢ編』の５－２０）、ト～ホは文字で置き換えると２次方程式になる指数方程式（『数ⅡＢ編』の５－１１）。
第２問
（１）は、極大値、極小値から３次関数を求める問題（『数ⅡＢ編』の６－１５）。
（２）ク～コは、接線（『数ⅡＢ編』の６－８）。サ、シはｙ＝０を代入するだけなので大丈夫でしょう。ス、セは面積（『数ⅡＢ編』の７－１０）。ソ、タは、足し算より、引き算の発想でやればよい（『数ⅡＢ編』の７－１３）。
（３）共通接線（『数ⅡＢ編』の６－１０）です。それぞれの接線を求めて同じものと考えればよい。①と②が同じものになるわけだが、そのまま比較すれば、ｋ、ａ、ｂの３文字登場することになり、計算が非常に面倒になるので、もっと簡単に直したいです。
曲線Ｃ:ｙ＝ｆ（ｘ）と接線ｌ:ｙ＝ｇ（ｘ）の共有点を調べてみましょう。連立させて、
ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）
ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）＝０
ｘ３－３ｂ２ｘ+２ｂ３＝０
ここで、曲線Ｃと接線ｌ:ｙ＝ｇ（ｘ）はｘ＝ｂで接しているので、連立させたり引いたりすると、ｘ＝ｂの重解をもつ。つまり、（ｘ－ｂ）２を因数にもつとわかるので、これを利用すれば計算が楽（『数ⅡＢ編』の６－１９）です。
ｘ＝ｂで接する他に、ｘ＝－２ｂで交わることもわかる。これが、点Ａなので、ａ＝－２ｂとわかる。
一方、①のほうはチ～テの結果を代入すれば、係数がａのみの式にできる。これで比較できて、ハ～ホが求められるわけです。
第３問
（１）アは、等比数列（『数ⅡＢ編』の８－５）、イは、階差数列（『数ⅡＢ編』の８－１５）。
（２）エ～カは、等比数列の初項から第ｎ項までの和（『数ⅡＢ編』の８－６）。キ～サは、階差数列（『数ⅡＢ編』の８－１５）。その計算途中でΣの公式（『数ⅡＢ編』の８－１１,８－１２）を使う。ソ、タは、足し算より、引き算の発想でやればよい（『数ⅡＢ編』の７－１３）。
（３）スは説明不要。
セ～タは、Ｔｎ+１を計算すれば、Ｔｎ+１＝４・４ｎ/３－ｎ－７/３になり、Ｔｎ＝４ｎ/３－ｎ－４/３比べると指数部分が４倍になっているので、「４Ｔｎに近い数ではないか?」と目安が付きます。実際、４Ｔｎ＝４・４ｎ/３－４ｎ－１６/３で、Ｔｎ+１はこれより、３ｎ+３大きい数ということで式か出ます。
チ、ツは、ヒントのある漸化式（『数ⅡＢ編』の８－２３）です。ｂｎ+１＝で計算すれば、右辺の一部にｂｎが現れて、漸化式が作れます。
数列{ｂｎ}のほうは、（隣接）２項間の漸化式（『数ⅡＢ編』の８－２５）です。これを解けばテ～ニが求まります。
一方、数列{Ｔｎ}のほうは、１次式のある２項間の漸化式（『数ⅡＢ編』の８－２７）です。こちらも求められて、問題文の３行目の式に代入すればヌ～ヒの答えがわかります。
第４問
まず、問題文から底面になる四角形がＡＤ//ＢＣの等脚台形とわかります。（ただし、ＡＤとＢＣのどちらが長いかは、この時点ではわかっていません。）位置ベクトル（『数ⅡＢ編』の９－２６）を記入して、問題を解いてゆきましょう。
（１）ア、イは、ベクトルのなす角（『数ⅡＢ編』の９－８のコツ２０）です。
ウ、エの三角形の面積は、『数ⅡＢ編』の９－１０のコツ２１の公式でも、『数ⅠＡ編』の４－１２の公式でも、求められます。
（２）オ～クは、『数ⅡＢ編』の９－１１の知識でいけます。
ケ～サも、ベクトルのなす角（『数ⅡＢ編』の９－８のコツ２０）です。
まず、ＡＤ//ＢＣなら、∠ＤＡＢ＋∠ＣＢＡ＝１８０°、∠ＡＤＣ＋∠ＢＣＤ＝１８０°が成り立つので、シ、スが求まり、この時点で、ＡＤ>ＢＣとわかります。
そして、台形の補助線の引き方は２通りありました（『数ⅠＡ編』の０－１０のコツ２）。どちらでも小、中学校の知識で解けます。
<垂線を下した場合>
Ｂ、Ｃから辺ＡＤに下した垂線の足をそれぞれＩ、Ｊとする（『やさしい中学数学』中３の３－３例題６－６）。∠ＢＡＩ＝６０°であるから、ＡＩ:ＢＩ:ＡＢ＝１:.（ルート３）:２より（『やさしい中学数学』中３の３－３）、ＡＩ＝（ルート２）/２、ＡＩ＝（ルート６）/２。同様にして、ＤＪ＝（ルート２）/２。
よって、ＡＤ＝２（ルート２）より、セがわかり、これを変形すればソ、タが求まる。チ～テは、小学校の台形の公式。
<平行線を書いた場合>
Ｃを通り辺ＡＢに平行な直線と、辺ＡＤの交点をＭとする。普通、四角形ＡＢＣＭは平行四辺形になるのだが、今回は特別にひし形になっていて、ＡＭ＝（ルート２）。一方、△ＣＤＭのほうは、ＣＭ＝ＣＤ、かつ、∠ＤＣＭ＝６０°より、正三角形とわかる。よって、ＡＤ＝２（ルート２）より、セがわかり、これを変形すればソ、タ。さらに、２点Ｂ、Ｍをつなぐと、△ＡＢＭ、△ＭＢＣ、△ＭＣＤはすべて合同な正三角形になり、正三角形の面積がわかる（『やさしい中学数学』中３の３－３のｐ.７３８）。台形ＡＢＣＤの面積も求まり、これがチ～テ。
（３）ベクトルが平面に垂直ということは、平面上に１次独立な（零ベクトルでなく、平行でない）２つのベクトルを用意すると、そのどちらとも垂直になることは、数ⅡＢ編』のお役立ち話２８で、
Ｈは、３点Ｏ、Ａ、Ｃと同じ平面上にあるので、Ｈの位置ベクトルは、（１－ｓ－ｔ）（"０ベクトル"）＋ｓ（"ａベクトル"）＋ｔ（"ｃベクトル"）つまり、ｓ（"ａベクトル"）＋ｔ（"ｃベクトル"）と表せることは、『数ⅡＢ編』の９－２７のｐｏiｎｔ１０４で扱っているので、
本でしっかり勉強した人は余裕だったでしょう。ただ、出題側は「知らないんじゃないか?」ということで、ここも、わざわざ書いてくれています。誘導通り計算すれば、ト～ヌがわかります。
さらに、成分がわかっていなくて、|ｍ（"ａベクトル"）+ｎ（"ｃベクトル"）|の形が登場したわけなので、２乗して展開する（『数ⅡＢ編』の９－１１）を知っていたら、ネ～ヒが解けます。
（４）四角形ＡＢＣＤの面積はチ、ツ、テで求めたし、△ＡＢＣの面積は、オ～サの結果を使えば、『数ⅡＢ編』の９－１０のコツ２１の公式でも、『数ⅠＡ編』の４－１２の公式でも、求められます。これで、四角形ＡＢＣＤの面積は、△ＡＢＣの面積の３倍ということがわかります。
（ちなみに、『やさしい中学数学』中２の５－９の知識を使っても解けます。Ａの場所からスライドさせて辺ＡＤの中点Ｍに持ってゆくと、△ＡＢＣと△ＭＢＣの面積は等しくなります。しかも、△ＡＢＭ、△ＭＢＣ、△ＭＣＤはすべて合同な正三角形になるので、四角形ＡＢＣＤの面積は、△ＡＢＣの面積の３倍です。（２）を<平行線を書いた場合>で考えたひとは、もっと早く３倍とわかります。）
四角形ＡＢＣＤや△ＡＢＣを底面と考えると、Ｏから下した垂線の長さつまり"高さ"が同じなので、立体の体積も３倍ということで、フがわかりました。
ヘ、ホも立体図形ではお馴染みの問題です。『数ⅠＡ編』の４－１７の最後で扱っています。
数ⅠＡは９７点。（数ⅡＢの１０章を勉強した人は９８点）
数ⅡＢは、１００点。
２０１８年・センター試験
数ⅠＡ
第１問
[１]昨年に引き続き、中学数学がわかってる人なら正解できた問題。（ｘ+ｎ）（ｎ+５－ｘ）＝ｘ（５－ｘ）+ｎの二乗+５ｎの展開を見て、一瞬、えっ?と思うかもしれませんが、ｎはどんな整数でも成り立つのだから、ｎ＝１,２を代入して使えばいいだけ。
[２] （１）の（ａ）は部分集合（『数ⅠＡ編』の２－２）、（ｂ）は空集合（『数ⅠＡ編』の２－１）、共通部分（『数ⅠＡ編』の２－３）の知識があれば、キは楽勝。クはちょっと面倒くさいけど普通に解けます。
（２）のｐは『数ⅠＡ編』の１－２７、ｓは『数ⅠＡ編』の１－２９、１－２７で簡単にできて、その後は、必要条件、十分条件（『数ⅠＡ編』の２－８）。
[３] サ、シは、平方完成（『数ⅠＡ編』の３－２）、ス～トは、軸や範囲に文字がある２次関数の最大最小（『数ⅠＡ編』の３－１０）。
第２問
[１] ア、イは、余弦定理（『数ⅠＡ編』の４－１０）、ウ～オは、三角比の相互関係（『数ⅠＡ編』の４－５）、カは普通に計算するだけ。ちなみに、ＡＢｓiｎ∠ＡＢＣはＡから辺ＢＣに下した垂線の長さだが（『数ⅠＡ編』の４－１）、もし、ＡＤ//ＢＣならＤＣより長くなるわけはないので、ＡＢ//ＣＤのほうだとわかる。そして、∠ＤＣＡ＝１８０°－∠ＡＢＣとわかり、『数ⅠＡ編』の４－１３のｐｏiｎｔ３７の公式を使えばｃｏｓ∠ＤＣＡがわかるので、余弦定理（『数ⅠＡ編』の４－１０で、ク～コが求められる。
[２]（１）は『数ⅠＡ編』の５－１、５－２、５－３、（２）はそれに付け加えて『数ⅠＡ編』の５－６の知識がある人は、どのヒストグラムや散布図がどの箱ひげ図になるかがわかるし、問題も解けたはずです。
（３）は問題の指示通りやれば普通に解けますし、『数ⅠＡ編』のお役立ち話６のｐ.３７８でやったことを覚えていた人はさらにスムーズにできたのではないでしょうか。
そのときは平均がｍで、ｍのないグループ、ｍの入っているグループ、ｍの２乗の入っているグループに分けて計算しました。
今回も同じです。平均がｘバー（ｘの上に横棒が付いているもの）とｙバーなので、ｘバーもｙバーもないグループ、ｘバーの入っているグループ、ｙバーの入っているグループ、ｘバーもｙバーも入っているグループに分けて計算します。
第３問
（１）は説明するまでもないでしょう。
（２）は、条件付き確率（『数ⅠＡ編』の６－２９）です。
（３）も、ただ計算するだけ。今回は登場しませんでしたけど、ＡとＢは独立であるといえます。（『数ⅠＡ編』の６－２）。
（４）は、ス～タは普通に求めるだけ。その後の問題ですが、ＢとＣが両方起こることはないので、
<あ>１回目にＡとＢの両方が起こり、２回目はＡが起こらないでＣが起こる。あるいは、その逆。
<い>１回目にＡとＣの両方が起こり、２回目はＡが起こらないでＢが起こる。あるいは、その逆。
の２つのケースしかありません。<あ>は前の問題で求めたもの×２です。よって、<い>を計算して足せば、チ～テの答えになります。
第４問
（１）ア～ウの素因数分解は、中学校でも習っているし、『数ⅠＡ編』の７－２でも紹介しています。エ、オは正の約数の個数（『数ⅠＡ編』の７－４）です。
（２）ａｘ+ｂｙ＝ｃ（ａ、ｂ、ｃは整数）を満たす整数ｘ、ｙを求めるという問題で、『数ⅠＡ編』の７－８で勉強しています。
（３）は、１４４つまり"２の四乗"・"３の二乗"の倍数ということは、
"２のｐ乗"・"３のｑ乗"、"２のｐ乗"・"３のｑ乗"・"ｃのｒ乗"、"２のｐ乗"・"３のｑ乗"・"ｃのｒ乗"・"ｄのｓ乗"・・・などありそうです。（ｃ、ｄは２、３ではない異なる素数）
再び、正の約数の個数（『数ⅠＡ編』の７－４）の知識の登場です。
"２のｐ乗"・"３のｑ乗"なら、正の約数の個数は、（ｐ+１）（ｑ+１）個で、これが１８になる。
"２のｐ乗"・"３のｑ乗"・"ｃのｒ乗"なら、正の約数の個数は、（ｐ+１）（ｑ+１）（ｒ+１）個で、これが１８になる。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
というふうになり、計算は『数ⅠＡ編』の７－３のやり方で出来ます。
第５問
まず、三平方の定理で、ＢＣが求まり、ア～ウは角の二等分線の比（『数ⅠＡ編』の４－１４のｐｏiｎｔ３９）、エ～ケは方べきの定理（『数ⅠＡ編』の８－９）で求められます。
その後は、相似（『やさしい中学数学』中３の５－４）、三角形と平行線（『数ⅠＡ編』の８－２のｐｏiｎｔ５４）のどちらを使っても出来ます。もし、ＢＥ/ＢＤ＝ＡＢ/ＢＣなら、ＥＤとＡＣが平行になるはずですが、「ＢＥのＢＤに対する割合」より、「ＡＢのＢＣに対する割合」が上回るということは、ＥからＤに向かって線を引いていけば直線ＡＣに近づいていくと気が付きます。そのまま伸ばしてゆくと、直線ＡＣとＣ側の延長線上で交わるとわかります。その後は、『やさしい中学数学』中１の５－１４、『数ⅠＡ編』の８－４でも説明した「内心」の意味が頭に入っていれば、タがわかります。
数ⅡＢ
第１問
[１] （１）（２）は、『数ⅡＢ編』の４－１がわかっていれば、楽勝でしょう。
（３）キは説明不要。
クは、;加法定理（『数ⅡＢ編』の４－１０）、ケ、コは、三角関数の合成（『数ⅡＢ編』の４－１４）。そしてｘを求めるのですが、角度がｘ－π/３なので、まずｘ－π/３の範囲を求め、その範囲を単位円になぞり、その範囲内でｓiｎつまりｙ座標が１/２になる所を考えればよい。ｘ－π/３がその角度になり、ｘが求まり、サ～セがわかります。
[２] まず、ｌｏｇの式なので真数条件（『数ⅡＢ編』の５－２０）より、ｘ>０とわかる。両辺の対数をとって『数ⅡＢ編』の５－１８）、同じものが２つあるので問題の言うように置き換えて（『数ⅡＢ編』の５－２１）、対数の計算（『数ⅡＢ編』の５－１３）をすると、ソ、タが得られる。さらに、ｃの値を代入して、（累乗根（『数ⅡＢ編』の５－３）、対数の基本（『数ⅡＢ編』の５－１２）、２次不等式（『数ⅠＡ編』の３－１１）の知識があれば、）『数ⅡＢ編』の５－２１の例題５の３０のやり方でチ～ナが求められます。
第２問
[１]（１）アは説明するまでもないでしょう。イ～オは接線の求め方（『数ⅡＢ編』の６－８）がわかっていれば解けます。
（２）面積の求め方（『数ⅡＢ編』の７－１０）で普通に計算してもできます。ただ、カ～ケに関しては、『数ⅡＢ編』の７－１３で紹介した、「放物線の直線はｘ＝１で接しているので、連立させたり、引いたりすると、ｘ＝１を重解にもつ。つまり、"ｘ－１の二乗"を因数にもつ。」の理屈を使えば研鑽が早いです。また、コに関しては、小学校で習った「台形の面積」でやったほうがはるかに楽です。その後は、ｘ＝２で極をもつということで、『数ⅡＢ編』の６－１５の知識でサがわかり、３次式の因数分解（『数ⅡＢ編』の２－１５）でシ～セがわかります。その後、『数ⅡＢ編』の６－１４のｐ.４８７で紹介された「簡単なグラフ」の書き方を使えばソが出て、増減表（『数ⅡＢ編』の６－１１）で最小値が求められます。
[２] 『数ⅡＢ編』の７－１で学ぶ「微分の逆が不定積分」がわかって入ればツは問題ないでしょう。テは面積の求め方（『数ⅡＢ編』の７－１０）。その後、－Ｆ（ｔ）+Ｆ（１）＝２・"ｔの三乗"－２という式ができて、両辺を微分すればト～ヌが求まります。
第３問
（１）は、等差数列とその和（『数ⅡＢ編』の８－２、８－３）。（２）は、等比数列とその和（『数ⅡＢ編』の８－５、８－６）。
（３）は、問題の指示する通りやればセ～トが求まり、階差数列（『数ⅡＢ編』の８－１５）の知識でナ～ネにたどり着けます。
第４問
（１）（２）位置ベクトル（『数ⅡＢ編』の９－１２）を勉強していれば、アとウ～カができたはずです。頂点の一つから両側の２方向に伸ばすのが普通ですが、今回はＦから３方向に伸ばすように指示されているので、それに従ってください。（頂点の一つから両側の２方向に伸ばすほうが楽に計算できるのは明らかです。でも、それならば簡単に求まりすぎてしまうため、わざと面倒なほうに誘導したのだと思います。）イは『数ⅡＢ編』の９－１１です。今回は初めから２乗してくれています。
（３）（４）指示通りやるだけです。ひねりはありません。
今年は、数ⅠＡ、数ⅡＢともに、「やさしい高校数学」のカバー率１００％という昨年を上回る結果になりました。来年は、どうなるでしょうか・・・?
２０１７年・センター試験
数ⅠＡ
第１問
[１] ほとんどの人が「全問正解した。」といった問題。展開、因数分解の公式（『やさしい中学数学』中３の１－４、『数ⅠＡ編』の１－４）でそのまま計算するだけ。
[２] 『数ⅠＡ編』の２－７、２－８の知識があれば難なく正解できます。
[３] セ～トは、平方完成（『数ⅠＡ編』の３－２）、ナ～ハは、２次関数の最大最小（『数ⅠＡ編』の３－６）。「置き換えをしたら残る文字の範囲を求める。」という鉄則は、『数ⅠＡ編』の３－７をはじめ、しつこく何回も登場しているので、今更いう必要もないでしょう。後半は、"ｔ＝ａの二乗"と置いたので、ｔの範囲を求めることになる。実数の２乗は０以上なので、ｔは０以上です。
第２問
[１] アは、余弦定理（『数ⅠＡ編』の４－１０）、イ～オは、正弦定理（『数ⅠＡ編』の４－９）、カ～サは、三角形の面積の公式（『数ⅠＡ編』の４－１２）、
[２] シ～セは、散布図（『数ⅠＡ編』の５－６）を知っていれば楽勝。
ソ～チは『数ⅡＢ編』の１０－３で扱った、
「ａＤ+ｂの分散」は、「Ｄの分散」のａ２倍、
「ａＤ+ｂの標準偏差」は、「Ｄの標準偏差」の|ａ|倍、
（成り立つ理由は本に書いてあるので省略）を知っていた人はラッキーだったと思います。
Ｘの分散は、Ｄの分散の１.８の二乗倍、つまり、３.２４倍。よって、ソは番号４。
"Ｘ－Ｘの平均"は、"Ｄ－Ｄの平均"Ｄの偏差の１.８倍。よって、当然、"（Ｘ－Ｘの平均）（ｙ－ｙの平均）"も、"（Ｄ－Ｄの平均）（ｙ－ｙの平均）"の１.８倍で、共分散は、それらの平均なのですから、「ＸとＹの共分散」も、「ＤとＹの共分散」の１.８倍ということで、タは番号３です。
「ＸとＹの相関係数」は、「ＸとＹの共分散」を「Ｘの標準偏差」と「Ｙの標準偏差」で割ったものです。一方、「ＤとＹの相関係数」は、「ＤとＹの共分散」を「Ｄの標準偏差」と「Ｙの標準偏差」で割ったものです。
「ＸとＹの相関係数」は「ＤとＹの相関係数」の１.８倍ですが、「ＸとＹの共分散」も、「ＤとＹの共分散」の１.８倍なので、結局、分子、分母ともに１.８倍することになるので、同じになります。よって、チは番号２となります。
（補足）もし、数Ｂをやっていない、やっているけど１０章には目を通していないという意見の人もいると思います。でも、公式を知らなくても、数Ⅰの知識を使って時間をかけて計算すれば求められるという理屈は通るわけですから、数Ⅰのテストに出題されても、何も文句は言えません。数学の先生の中には、「公式なんて覚える必要がない。出てきたら証明すればいいんだ。」という無責任なことをいう人もいます。しかし、現実的に考えてください。６０分という短い時間にそんな暇があるでしょうか?証明も計算も、数学の先生がやるのより何倍もかかるわけですよ。私としては、むしろ、上の２つに加えて、
「ａＤ+ｂとＹの共分散」は、「ＤとＹの共分散」のａ倍、
「ａＤ+ｂとＹの相関係数」は、「ＤとＹの相関係数」と同じ
も覚えて置くべきだと強く主張したいです。実際、同じような問題は２０１６年にも出題され、それを教訓に、事前に公式を頭に入れて試験に臨んだ人は、３問合わせて数秒で終わらせることができたようです。皆さんも、そうしてください。
ここは、「数Ｂの１０章をやっていなくて、計算も苦手な人」に標準を定め、『やさしい高校数学』では、扱っていない問題のほうに入れます。
ツ、テはヒストグラムと箱ひげ図（『数ⅠＡ編』の５－３）。また、テで「四分位範囲」という言葉が登場しますが、この意味は『数ⅠＡ編』の５－２で説明しています。
第３問
ア、イは、余事象（『数ⅠＡ編』の４－１０）の考え方で、それを使った類似の問題を『数ⅠＡ編』の６－２３のｐ.４６３の例題６－２５の（３）で扱っています。確率が１回ずつ変わるのですが、これも『数ⅠＡ編』の６－２４で登場しています。
ウ～オは、まず、「排反」の意味は、『数ⅠＡ編』の６－２３のｐ.４６６で説明しています。
当たりを引くのを〇、外れのを引くのを×で表すと、今回は、
Ａ×、Ｂ〇、Ｃ〇
Ａ〇、Ｂ×、Ｃ〇
Ａ〇、Ｂ〇、Ｃ×
なので、それぞれ番号１、３、５になります。これは、ほとんどの受験生が正解したようです。
カ、キも、例えば、番号１になる確率は、『数ⅠＡ編』の６－２４で登場した方法で解けば１/６と求められます。他の２つは、普通に求めてもいいのですが、「くじ引きは引く順番に有利不利はない。」という大原則を知っていれば、どれも１/６になるとわかります。
上の３つのケースは排反（どれか一つしか起こらない）なので、足すことになります。（『数ⅠＡ編』のお役立ち話７）
ク、ケは条件付き確率（『数ⅠＡ編』の６－２９）です。
コ～シは、３人とも当たる、３人とも外れることはないのは明らかです。
３人のうち２人だけが当たる、
Ａ×、Ｂ〇、Ｃ〇
Ａ〇、Ｂ×、Ｃ〇
Ａ〇、Ｂ〇、Ｃ×
３人のうち１人だけが当たる、
Ａ×、Ｂ×、Ｃ〇
Ａ×、Ｂ〇、Ｃ×
Ａ〇、Ｂ×、Ｃ×
の計６パターンしかなく、今回は、最後の一つ以外ということになります。一つ目、四つ目、五つ目はまとめて番号０でいいですし、二つ目は番号３、三つめは番号５になります。
ス、セも、『数ⅠＡ編』の６－２４のやり方で求められます。番号０は確率１/２、番号３は１/６になります。番号５も普通に求めてもいいですが、カ、キの「くじ引きは引く順番に有利不利はない。」という原則で番号３と同じ１/６とみなせます。
ソ、タも、カ、キのときと同じ考え方です。「Ｂ、Ｃの少なくとも一方が当たりのくじを引く。」と、「Ａ、Ｃの少なくとも一方が当たりのくじを引く。」は同じ確率になるに決まっています。
チも条件付き確率（『数ⅠＡ編』の６－２９）です。普通に求めてもいいし、Ｅ２とＥ３に違いがないから、ｐ２とｐ３は同じになるはずだと気づいた人はもっと素晴らしいです。
第４問
ア～サの「４の倍数」「９の倍数」は、『数ⅠＡ編』の７－１。
シ～タは『数ⅠＡ編』の７－４のｐ.５０５の前半で説明しています。１１８８＝２の二乗・３の三乗・１１なので、
正の約数を作ろうとすると、"２"は「掛けない」「１回掛ける」「２回掛ける」の３通り、"３"は「掛けない」「１回掛ける」「２回掛ける」「３回掛ける」の４通り、"１１"は「掛けない」「１回掛ける」の２通りから選べるため、３・４・２＝２４個できます。
そのうちで２の倍数になるものは、"２"は「１回掛ける」「２回掛ける」の２通り、"３"は同様に４通り、"１１"は２通りなので、２・４・２＝１６個できるし、４の倍数になるものは、"２"は「２回掛ける」の１通り、"３"は４通り、"１１"は２通りなので、１・４・２＝８個できます。
チ、ツは、「４の倍数が８個あるわけなので、これらをすべて掛けると"２の十六乗"・奇数になるし、４の倍数でない２の倍数が８個あるから、これらをすべて掛けると"２の八乗"・奇数になる。よって、積は"２の二十四乗"・奇数になり、２進法に直せば、下２４桁がすべて０になる。」と思いつく頭の回転のいい人もいるかもしれませんが、普通の人はそうではないので・・・これは、『やさしい高校数学』では、扱っていないとみなします。
第５問
ア～エは、方べきの定理（『数ⅠＡ編』の８－９）です。
その後は、相似な図形（『やさしい中学数学』中３の５－４）が２組あるので、それで求められます。中学校で習った計算ができる人は心配なく解けたと思います。
△ＣＤＥと△ＣＢＡにおいて、
∠ＤＣＥ＝∠ＢＣＡ（共通）
∠ＣＤＥ＝∠ＣＢＡ（円周角） （『数ⅠＡ編』の４－１３のｐ.３３３）
２角相等より、△ＣＤＥ∽△ＣＢＡ
ＣＤ:ＣＢ＝ＤＥ:ＢＡ
４:８＝ＤＥ:３
ＤＥ＝３/２
△ＦＡＤと△ＦＥＢにおいて、
∠ＡＦＤ＝∠ＥＦＢ（共通）
∠ＦＡＤ＝∠ＦＥＢ（円周角）
２角相等より、△ＦＡＤ∽△ＦＥＢ
★
ここで、ＦＡ＝ｘ,ＦＤ＝ｙとおくと、
ＦＡ:ＦＥ＝ＡＤ:ＥＢ
ｘ:（ｙ+３/２）＝３:９/２
９/２・ｘ＝３ｙ+９/２
９ｘ＝６ｙ+９
３ｘ－２ｙ＝３
ＦＤ:ＦＢ＝ＡＤ:ＥＢ
ｙ:（ｘ+３）＝３:９/２
９/２・ｙ＝３ｘ+９
９ｙ＝６ｘ+１８
－２ｘ+３ｙ＝６
太字の２つの式を連立させれば、ｘ＝２１/５が求まるので、ク～コがわかり、その結果、オ～キも求まります。
（補足）★の後は、以下のようにして解くこともできます。
△ＦＥＢの面積をＳとおくと、
△ＦＡＤと△ＦＥＢの相似比は、ＡＤ:ＥＢ＝３:９/２＝２:３より、
（△ＦＡＤの面積）:（△ＦＥＢの面積）＝４:９ （相似比『やさしい中学数学』中３の５－９）
（△ＦＡＤの面積）＝４ｓ/９
（四角形ＡＢＥＤの面積）＝５ｓ/９
次に、△ＢＡＥと△ＤＡＥを比較する。
∠ＡＢＥ＝Θとおくと、円周角より、∠ＡＢＥ＝１８０°－Θであり、
△ＢＡＥの面積は、１/２・３・９/２・ｓiｎΘ＝２７/４・ｓiｎΘ
△ＤＡＥの面積は、１/２・３・３/２・ｓiｎ（１８０°－Θ）＝９/４・ｓiｎΘより、
（△ＢＡＥの面積）:（△ＤＡＥの面積）＝３:１
（△ＢＡＥの面積）＝５ｓ/９・３/４＝５ｓ/１２
（△ＤＡＥの面積）＝５ｓ/９・１/４＝５ｓ/３６
よって、（△ＦＡＥの面積）＝（△ＦＡＤの面積）+（△ＤＡＥの面積）＝７ｓ/１２
△ＦＥＢと△ＦＡＥを比べるとき、ＢＦ、ＡＦを底辺とみなすと、高さが同じであることから、
ＢＦ:ＡＦ＝（△ＦＥＢの面積）:（△ＦＡＥの面積）＝ｓ:（７ｓ/１２）＝１２:７。よって、ＢＦ/ＡＦ＝１２/７とわかります。
その後は、ＦＡ＝ｘとおくと、ｘ＝２１/５が出せます。
問題文でオ～キを先に求めさせているということは、おそらく、問題を作られた方は、受験生はこのように解答するだろうと想定したと思います。しかし、実際には、こちらのほうがはるかに面倒くさいので、私のような求め方でやるのがいいかと思います。
サ、シは、余弦定理（『数ⅠＡ編』の４－１０）、ス～ソの内接円の半径は、『数ⅠＡ編』の４－１２で登場しています。
タ～ツは、「内心」の意味は、『やさしい中学数学』中１の５－１４、『数ⅠＡ編』の８－４でも説明しています。後は『数ⅠＡ編』の４－１４の内容で行けます。∠Ｂの二等分線上にＩがあり、直線ＢＩと辺ＡＣの交点をＪとすると、ｐ.３４０のやり方でＡＪ、ＣＪの長さがわかるし、ｐ.３４１のやり方でＢＪの長さがわかります。また、Ｉは∠Ａの二等分線上にもあるわけなので、ＢＩとＩＪの比もわかり、ＢＩの長さがわかります。
数ⅡＢ
第１問
[１] ア～エは２倍角の公式（『数ⅡＢ編』の４－１２）。
オは二乗するだけ。
カ～ケは、;連立させて解いてもいいし、解の和と積がわかっているから、元の式が作り、それを解いてもいい。（『数ⅡＢ編』の２－９）
コ～ソは、まず、二乗から一乗を求めると、ｃｏｓα、ｃｏｓβともに正、負の２つずつ出るが、積が負であることから、お互いに異符号だとわかるし、０≦α≦π、０≦β≦π、α＜βより、単位円を描いてみると、ｃｏｓα＞ｃｏｓβとわかる。（『数ⅠＡ編』の４－２）
[２] 対数関数のグラフは『数ⅡＢ編』の５－１６で紹介したから、大丈夫でしょう。
タは、真数条件（『数ⅡＢ編』の５－１２）。
チ～ナは、内分点の公式（『数ⅡＢ編』の３－２）です。
二～ネは、対数方程式（『数ⅡＢ編』の５－２０）。
ノ～フは連立するだけ。
ヘは、底を１０に変えて計算するだけです。（『数ⅡＢ編』の５－１４）
第２問
ア～セは、接線の本数（『数ⅡＢ編』の６－２１）という有名な問題です。
ソ、タは、２次不等式（『数ⅠＡ編』の３－１１）。
チ～テは、小学校で習った底辺×高さ×１/２で面積を求めるだけ。
ト～ネは、増減表を使えば３次関数の最大最小が求められます。（『数ⅡＢ編』の６－１６）
ノ～フは、普通に積分で面積を求めることもできます。（『数ⅡＢ編』の７－１０）しかし、もっと言えば、『数ⅡＢ編』の６－１９、７－１３で説明しましたが、グラフどうしがｘ＝２ａ－１で接しているので、連立させたり、引いたりすると、ｘ＝２ａ－１を重解にもつ、つまり、ｘ－（２ａ－１）を因数に持つといえます。これに気が付いた人は計算が圧倒的に楽だったでしょう。
へは、微分すれば負になることから、減少とわかります。
第３問
ア、イは、等比数列（『数ⅡＢ編』の８－５）。
ウ～キは、ただ計算するだけ。
ク、ケは、判別式（『数ⅠＡ編』の１－２０）。
コ～シも、計算するだけ。
ス、セも、対数の基本（『数ⅡＢ編』の５－１３）の計算なので、楽勝でしょう。
ソ～タは、『数ⅡＢ編』の８－２０で勉強しています。
第４問
ア、イは∠ＡＯＢ＝６０°がわかれば、中三の知識で解けます。
ウは、説明するまでもないでしょう。
エ～ツは、Ａ､Ｂ､Ｃ､Ｄ､Ｅ､Ｆ､Ｍすべての座標がわかるわけですから、ベクトルの成分（『数ⅡＢ編』の９－２）もわかります。（Ｎの点は何対何に外分しているかわからくて、もし、ノーヒントなら、『一方にｓを掛けて、他方に１－ｓを掛けて・・・』（『数ⅡＢ編』の９－１３、９－１４）のやり方でやればいいのですが、）今回が問題の方が指示してくれているので、それに従って計算すれば自動的に求められます。
テ～ナは、説明不要。
ニ～ハですが、まず、Ｈのｙ座標はａとわかっているので、座標を（ｔ,ａ）とかおけて、"ベクトルＣＨ"もわかります。そして、"ベクトルＥＰ"と"ベクトルＣＨ"は垂直なので、内積が０（『数ⅡＢ編』の９－９）ということで、ｔが求まります。
ヒ～ヘは、ベクトルのなす角（『数ⅠＡ編』の９－８）です。
数ⅠＡは、第４問を選択した人は９１点、選択しなかった人は９４点。（数ⅡＢの１０章を勉強した人は、それぞれ９７点、１００点）
数ⅡＢは、１００点。
ということになります。ただし、今回のセンター試験が例年と比べ易しかったため、このような結果になったわけで、詳しくは分析していませんが、通常なら８０～９０点でしょう。もともと、この本を作る際に、そのくらいのカバー率になることを考慮してしたので、ほぼ想定通りといえます。
ただ、ここで注意して欲しいのは、８０～９０点をカバーしているといっても、実際のテストでその点が取れるわけではないことです。計算ミスもするでしょうし、何よりセンター試験は問題の量に比べて与えられている時間が短いため、すべての問題に目を通す前に終わってしまうかもしれません。限られた時間内で効率よく点を稼いでいく技術は実戦でしか身につきません。私の本はあくまで「技術指導」で、それのみでなく、「練習試合」といえる模擬テストを数多くこなすことで身に着けることができますので、是非そうして、６０分の体内時計を作り上げてください。
